苏教版 (2019)必修 第二册第15章 概率15.3 互斥事件和独立事件精品课时作业

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一、选择题


1．有以下三个问题：


①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；


②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；


③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．


这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )


A．3个 B．2个


C．1个 D．0个


C [①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝eq \f(3,5)，P(N)＝eq \f(1,2).即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝eq \f(1,2)，P(N)＝eq \f(1,2)，P(MN)＝eq \f(1,4)，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．]


2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )





A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)


C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)


A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9)，故选A．]


3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )


A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,3)


C．eq \f(3,5) D．eq \f(1,2)


A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq \f(3,4).]


4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是( )


A．0.49 B．0.42


C．0.7 D．0.91


B [由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事件A，则P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]


5．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )





A．eq \f(3,16) B．eq \f(3,4)


C．eq \f(13,16) D．eq \f(1,4)


C [记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件eq \x\t(E)，


则P(eq \x\t(E))＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＋P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝eq \f(3,4)，则灯亮的概率为P＝1－P(eq \x\t(E)eq \x\t(C)eq \x\t(D))＝1－P(eq \x\t(E))P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).]


二、填空题


6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．





0.864 [可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，


所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]


7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．


eq \f(1,2) [从甲袋中任取一球是白球的概率为eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)，是红球的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)；从乙袋中任取一球是白球的概率为eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，是红球的概率为eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，故所求事件的概率为eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).]


8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．


0.902 [设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)，


则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq \x\t(A))＝0.2，P(eq \x\t(B))＝0.3，P(eq \x\t(C))＝0.1，


至少两颗预报准确的事件有ABeq \x\t(C)，Aeq \x\t(B)C，eq \x\t(A)BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．


∴至少两颗预报准确的概率为


P＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(ABC)


＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9


＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]


三、解答题


9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．


(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；


(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．


[解] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；


B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；


C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；


D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；


E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．


(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，


P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.


(2)D＝eq \x\t(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，


P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.


10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：


(1)2人都射中目标的概率；


(2)2人中恰有1人射中目标的概率；


(3)2人至少有1人射中目标的概率；


(4)2人至多有1人射中目标的概率．


[解] 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，eq \x\t(A)与B，A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)为相互独立事件．


(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.


(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件Aeq \x\t(B)发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件eq \x\t(A)B发生)．根据题意，事件Aeq \x\t(B)与eq \x\t(A)B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为


P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)·P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.


(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人恰有1人射中”2种情况，


其概率为P＝P(AB)＋[P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)]＝0.72＋0.26＝0.98.


(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，


故所求概率为P＝P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＋P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)


＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＋P(A)·P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.





1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )


A．eq \f(2,9) B．eq \f(1,18)


C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)


D [由P(Aeq \x\t(B))＝P(Beq \x\t(A))，得P(A)P(eq \x\t(B))＝P(B)·P(eq \x\t(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，


∴P(A)＝P(B)．


又P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝eq \f(1,9)，∴P(eq \x\t(A))＝P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)，∴P(A)＝eq \f(2,3).]


2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为eq \f(1,5)，身体关节构造合格的概率为eq \f(1,4).从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )


A．eq \f(13,20) B．eq \f(1,5)


C．eq \f(1,4) D．eq \f(2,5)


D [设体型合格为事件A，身体关节构造合格为事件B，A与B为独立事件，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，所以两项中至少有一项合格的概率为P＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝1－P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).]


3．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________．


eq \f(1,3) [由已知逆时针跳一次的概率为eq \f(2,3)，顺时针跳一次的概率为eq \f(1,3).则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,27)，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).通过分析跳三次停在A荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝eq \f(8,27)＋eq \f(1,27)＝eq \f(1,3).]


4．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．


0.18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]


5．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为eq \f(5,6)，eq \f(4,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各轮问题能否正确回答互不影响．


(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；


(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；


[解] 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝eq \f(5,6)，P(A2)＝eq \f(4,5)，P(A3)＝eq \f(3,4)，P(A4)＝eq \f(1,3).


(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，


则P(B)＝P(A1A2eq \x\t(A3))＝P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A3))


＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,6).


(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，


则P(C)＝P(eq \x\t(A1)＋A1eq \x\t(A2)＋A1A2eq \x\t(A3))


＝P(eq \x\t(A1))＋P(A1eq \x\t(A2))＋P(A1A2eq \x\t(A3))


＝eq \f(1,6)＋eq \f(5,6)×eq \f(1,5)＋eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,2).