数学必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算精品课后测评

这是一份数学必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算精品课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，f ，G，H，则eq \(OP,\s\up8(→))＋eq \(OQ,\s\up8(→))＝( )





A.eq \(OH,\s\up8(→)) B．eq \(OG,\s\up8(→)) C．eq \(EO,\s\up8(→)) D．eq \(FO,\s\up8(→))


D [在方格纸上作出eq \(OP,\s\up8(→))＋eq \(OQ,\s\up8(→))，如图所示，则容易看出eq \(OP,\s\up8(→))＋eq \(OQ,\s\up8(→))＝eq \(FO,\s\up8(→))，故选D. ]





2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )


A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反


C．与向量b方向相同D．与向量b方向相反


A [因为a∥b且|a|＞|b|＞0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，因为|a|＞|b|，所以a＋b的方向仍与a相同．]


3．如图所示，在正六边形ABCDEf 中，若AB＝1，则|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(FE,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))|等于( )





A．1B．2eq \r(3)


C．3D．2


D [由正六边形知eq \(FE,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，


所以eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(FE,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))，


所以|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(FE,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))|＝|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2.故选D.]


4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(3) km”，则向量a＋b表示( )


A．向东北方向航行2 km


B．向北偏东30°方向航行2 km


C．向北偏东60°方向航行2 km


D．向东北方向航行(1＋eq \r(3)) km


B [如图，易知tan α＝eq \f(1,\r(3))，所以α＝30°.





故a＋b的方向是北偏东30°.


又|a＋b|＝2 km，故选B.]


5．下列命题中正确的命题( )


A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同


B．△ABC中，必有eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝0


C．若eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点


D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等


B [对于A：若a与b的方向相反且a＋b＝0，故A错误；


对于B：eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝0，所以B正确；


对于C：当A，B，C三点共线时，也可以有eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝0，所以C错误；


对于D：只有当a与b同向时才相等．所以D错误；故选B.]


二、填空题


6．若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.


0 [由题意可知，a＋b＝0.]


7．如果|eq \(AB,\s\up8(→))|＝8，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝5，那么|eq \(BC,\s\up8(→))|的取值范围为________．


[3,13] [根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．]


8．已知|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，且∠AOB＝60°，则|eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))|＝________.


eq \r(3) [如图所示：





eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))，


|eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))|＝|eq \(OC,\s\up8(→))|.在△OAC中，∠AOC＝30°，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，所以|eq \(OC,\s\up8(→))|＝eq \r(3).]


三、解答题


9．如图所示，两个力f 1和f 2同时作用在一个质点O上，且f 1的大小为3 N，f 2的大小为4 N，且∠AOB＝90°，试作出f 1和f 2的合力，并求出合力的大小．





[解] 如图所示，eq \(OA,\s\up8(→))表示力f 1，eq \(OB,\s\up8(→))表示力f 2，以OA，OB为邻边作▱OACB，





则eq \(OC,\s\up8(→))是力f 1和f 2的合力．


在△OAC中，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(OB,\s\up8(→))|＝4，且OA⊥AC，则|eq \(OC,\s\up8(→))|＝eq \r(|\(OA,\s\up8(→))|2＋|\(AC,\s\up8(→))|2)＝5，


即合力的大小为5 N.


10．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，f 为BC的中点．求证：eq \(EF,\s\up8(→))＋eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)).


[证明] 如图所示，在四边形EABf 中，eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))，①





在四边形EDCf 中，


eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(ED,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))， ②


①＋②得


eq \(EF,\s\up8(→))＋eq \(EF,\s\up8(→))＝(eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→)))＋(eq \(ED,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→)))＝(eq \(BF,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→)))＋(eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(ED,\s\up8(→)))＋(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))．


∵E，f 分别是AD，BC的中点，∴eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(ED,\s\up8(→))＝0，eq \(BF,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝0，∴eq \(EF,\s\up8(→))＋eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)).





1．(多选题)已知△ABC是正三角形，下列等式中正确的是( )


A．|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))|＝|eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))|


B．|eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))|＝|eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))|


C．|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))|


D．|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))|


ACD [|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|，|eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))|＝|eq \(BA,\s\up8(→))|，从而|eq \(AC,\s\up8(→))|＝|eq \(BA,\s\up8(→))|，故A正确；|eq \(AB,\s\up8(→))|≠|eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))|，故B不正确；画图(图略)可知C，D正确．]


2．设a＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→)))＋(eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(DA,\s\up8(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，错误的是( )


A．a∥b B．a＋b＝a


C．a＋b＝bD．|a＋b|＝|a|＋|b|


B [∵a＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→)))＋(eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(DA,\s\up8(→)))＝(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))＋(eq \(CD,\s\up8(→))＋eq \(DA,\s\up8(→)))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))＝0，∴A、C、D正确．]


3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，则|eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))|＝________.


1 [在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))|＝|eq \(BD,\s\up8(→))|＝1.]


4．(一题两空)已知△ABC 中，AB＝AC＝1，|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|＝eq \r(2)，则△ABC是__________三角形；若点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up8(→))＋eq \(GB,\s\up8(→))＋eq \(GC,\s\up8(→))＝________ .


等腰直角 0 [以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝eq \r(2)，∴∠ABD为直角，则该四边形为正方形．∴∠BAC＝90°. 所以△ABC是等腰直角三角形；


如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，





则eq \(GB,\s\up8(→))＋eq \(GC,\s\up8(→))＝eq \(GD,\s\up8(→))，eq \(GD,\s\up8(→))＋eq \(GA,\s\up8(→))＝0，


∴eq \(GA,\s\up8(→))＋eq \(GB,\s\up8(→))＋eq \(GC,\s\up8(→))＝0.]


5．如图，已知向量a，b，c，d.





(1)求作a＋b＋c＋d；


(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．


[解] (1)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(AB,\s\up8(→))＝b，eq \(BC,\s\up8(→))＝c，eq \(CD,\s\up8(→))＝d，则eq \(OD,\s\up8(→))＝a＋b＋c＋d.





(2)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(AB,\s\up8(→))＝e，则a＋e＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，





由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|eq \(OB,\s\up8(→))|即|a＋e|最大，最大值是3.