高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数精品课堂检测

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数精品课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．sin 10°sin 50°sin 70°＝( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,16)


C [sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cs 40°cs 20°＝eq \f(sin 10°cs 10°cs 20°cs 40°,cs 10°)＝eq \f(\f(1,8)sin 80°,cs 10°)＝eq \f(1,8).]


2．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，则cs 2α＝( )


A．1B．－1


C．eq \f(1,2)D．0


D [因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，所以eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sin α＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cs α，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－1，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0，故选D．]


3．设cs 2θ＝eq \f(\r(2),3)，则cs4θ＋sin4θ＝( )


A．eq \f(1,3) B．eq \f(4,9) C．eq \f(11,18) D．eq \f(13,18)


C [cs4θ＋sin4θ＝(cs2θ＋sin2θ)2－2cs2θsin2θ＝1－eq \f(1,2)sin22θ＝1－eq \f(1,2)(1－cs22θ)


＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs22θ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(11,18).]


4．若tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，则sin 2θ＝( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2,3)


A [由tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝4，


得sin θcs θ＝eq \f(1,4)，则sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).]


5．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，则tan α＝( )


A．eq \f(\r(3),3)B．1


C．eq \f(4,3) D．eq \r(3)


D [∵sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，∴sin2α＋cs2α－sin2α＝eq \f(1,4)，


∴cs2α＝eq \f(1,4).


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2).∴tan α＝eq \r(3).]


二、填空题


6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则tan(α＋β)＝________.


eq \f(7,24) [∵taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α＋β,2))),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(1,7),1－\f(1,49))＝eq \f(7,24).]


7．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))的值为________．


eq \f(17\r(2),50) [∵α为锐角，∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，


又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(24,25)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝eq \f(7,25)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12)))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)


＝eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50).]


8．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，且2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝________.


eq \f(1,7) [由2sin2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得1－cs 2θ＋eq \r(3)sin 2θ＝－eq \f(1,5)，得cs 2θ－eq \r(3)sin 2θ＝eq \f(6,5)，


2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))，所以2θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝eq \f(4,3)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,12)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－tan\f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))tan\f(π,4))＝eq \f(1,7).]


三、解答题


9．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，0<α<π，求sin 2α，cs 2α，tan 2α的值．


[解] ∵sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，


∴sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(1,9)，


∴sin 2α＝－eq \f(8,9)且sin αcs α＝－eq \f(4,9)<0.


∵0<α<π，sin α>0，∴cs α<0.


∴sin α－cs α>0.


∴sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－sin 2α)


＝eq \f(\r(17),3).


∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝(sin α＋cs α)(cs α－sin α)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),3)))＝－eq \f(\r(17),9).


tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(8\r(17),17).


10．已知函数f (x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)为奇函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．


(1)求a，θ的值；


(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))＝－eq \f(2,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．


[解] (1)因为f (x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cs2x为偶函数，所以y2＝cs(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝eq \f(π,2)，所以f (x)＝－sin 2x(a＋2cs2x)，


由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.


(2)由(1)得，f (x)＝－eq \f(1,2)sin 4x，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)))＝－eq \f(1,2)sin α＝－eq \f(2,5)，即sin α＝eq \f(4,5)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，从而cs α＝－eq \f(3,5)，所以有sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sin αcs eq \f(π,3)＋cs αsin eq \f(π,3)＝eq \f(4－3\r(3),10).





1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝( )


A．8 B．4


C．2 D．1


C [因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cs218°.


所以eq \f(m\r(n),2cs227°－1)＝eq \f(2sin18 °\r(4cs218°),2cs227°－1)＝eq \f(4sin 18°cs 18°,2cs227°－1)＝eq \f(2sin 36°,cs 54°)＝eq \f(2sin 36°,sin 36°)＝2.故选C．]


2．(多选题)下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )


A．2sin15°cs15° B．eq \f(1＋tan 15°,21－tan 15°)


C．1－2sin215° D．eq \f(3tan 15°,1－tan215°)


BCD [2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)；


eq \f(1＋tan 15°,21－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,21－tan 45°tan 15°)＝eq \f(1,2)tan(45°＋15°)＝eq \f(1,2)tan 60°＝eq \f(\r(3),2)；


1－2sin2 15°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)；


eq \f(3tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)·eq \f(2tan 15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)·tan 30°＝eq \f(\r(3),2).


故选BCD．]


3．化简：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°))的值为___________．


eq \f(\r(3),2) [原式＝eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))


＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°×eq \f(2cs 10°,sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).]


4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝________.


－eq \f(7,9) [∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(π,2)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,3)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).]


5．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10eq \r(3) m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．





[解] ∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，


∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m.


又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，


∴AD＝CD＝10eq \r(3) m.


∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10eq \r(3)sin 4θ(m)，


在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，


∴10eq \r(3)sin 4θ＝30sin 2θ，


即20eq \r(3)sin 2θcs 2θ＝30sin 2θ，∴cs 2θ＝eq \f(\r(3),2)，


又2θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ＝eq \f(π,6)，∴θ＝eq \f(π,12)，


∴AE＝30sineq \f(π,6)＝15(m)，


∴θ＝eq \f(π,12)，建筑物AE的高为15 m.