高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念优秀第1课时同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念优秀第1课时同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )


A．49 B．50 C．51 D．52


D [∵an＋1－an＝eq \f(1,2)，


∴数列{an}是首项为2，公差为eq \f(1,2)的等差数列，


∴an＝a1＋(n－1)×eq \f(1,2)＝2＋eq \f(n－1,2)，


∴a101＝2＋eq \f(101－1,2)＝52.]


2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝( )


A．－15B．－28


C．15D．28


B [设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2.


即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B.]


3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )


A．an＝2n－2(n∈N*)


B．an＝2n＋4(n∈N*)


C．an＝－2n＋12(n∈N*)


D．an＝－2n＋10(n∈N*)


D [由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝eq \f(a4－a2,2)＝eq \f(2－6,2)＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10.故选D.]


4．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )


A．0B．lg25


C．32D．0或32


B [依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，


∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，


∴(2x)2－4·2x－5＝0，


∴(2x－5)(2x＋1)＝0，


∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝lg25.]


5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )


A．21B．22


C．23D．24


B [公差d＝a2－a1＝－4，


∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，


令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(88－4n≥0，,88－4n＋1<0))⇒21

二、填空题


6．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.


3n [因为n≥2时，an－an－1＝3，


所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.]


7．已知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________.


eq \f(12,5) [设公差为d，∵eq \f(1,a6)－eq \f(1,a4)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,12)＝2d，∴d＝eq \f(1,24).∴eq \f(1,a10)＝eq \f(1,a6)＋4×d＝eq \f(1,4)＋4×eq \f(1,24)＝eq \f(5,12).∴a10＝eq \f(12,5)]


8．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________.


eq \f(7,2) [法一：利用等差中项，b＝eq \f(2＋9,2)＝eq \f(11,2)，


a＝eq \f(2＋\f(11,2),2)＝eq \f(15,4)，c＝eq \f(\f(11,2)＋9,2)＝eq \f(29,4).∴c－a＝eq \f(29,4)－eq \f(15,4)＝eq \f(7,2).


法二：利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝eq \f(7,4)，故c－a＝2×eq \f(7,4)＝eq \f(7,2).]


三、解答题


9．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.求数列的通项公式．


[解] 由an＋2－2an＋1＋an＝0得2an＋1＝an＋an＋2，


根据等差中项知，该数列为等差数列．设公差为d，


则a4－a1＝3d，即d＝eq \f(a4－a1,3)＝eq \f(2－8,3)＝－2.


∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10.


10．已知函数f (x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f (xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．


(1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列；


(2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x2 015.


[解] (1)证明：∵xn＝f (xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，


∴eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1)，


∴eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2且n∈N*)，


∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列．


(2)由(1)知eq \f(1,xn)＝eq \f(1,x1)＋(n－1)×eq \f(1,3)＝2＋eq \f(n－1,3)＝eq \f(n＋5,3)，


∴eq \f(1,x2 015)＝eq \f(2 015＋5,3)＝eq \f(2 020,3)，


∴x2 015＝eq \f(3,2 020).





11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是( )


A．2 B．3 C．4 D．5


ABC [由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d.∴n＝eq \f(2 016,d)＋1.


∵d∈N*，所以d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC.]


12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是( )


A．构成的新数列是等差数列，公差为10


B．构成的新数列是等差数列，公差为12


C．该数列共有16项


D．该数列共有18项


BC [等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6，


所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，


其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，


所以12n－10≤190，解得n≤eq \f(50,3)，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16.故选BC.]


13．(一题两空)已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，并且an＋1＝2eq \r(Sn)，则首项a1＝________，通项an＝________.


1 2n－1 [∵an＋1＝2eq \r(Sn)，an＞0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1))2＝4Sn，


当n＝1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋1))2＝4S1＝4a1，解得a1＝1.


当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，


则(an＋1)2－(an－1＋1)2＝4Sn－4Sn－1＝4an，


∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，


∴an－an－1＝2，或an＋an－1＝0(舍去)，


∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，


∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.]


14．(一题两空)等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．


an＝36－3n an＝38－5n(n∈N*) [若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36.若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))


解得－eq \f(33,6)

又∵d∈Z，∴d＝－5，


∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.]





15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2， … )，λ是常数．


(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；


(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．


[解] (1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，


且a1＝1，


所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.


从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.


(2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列．


证明如下：


由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，


得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，


a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．


若存在λ，使{an}为等差数列，


则a3－a2＝a2－a1，


即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，


解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，


a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.


这与{an}为等差数列矛盾．


所以，不存在λ使{an}是等差数列．