考点09 直线的交点坐标与距离公式-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点09   直线的交点坐标与距离公式

一、单选题

1．（2020·四川遂宁市·高二期中（文））设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求出线段的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由可求得的范围．

【详解】

，∴方程为，即，

由，解得，（显然），

由解得或．

故选：D．

【点睛】

方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：

（1）求出直线方程，由直线方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；

（2）求出直线过定点，再求出定点与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．

2．（2020·山东潍坊市·寿光现代中学高二期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由两点关于一条直线对称的性质，求得对称轴所在的直线方程为，再根据垂直及中点在轴上这两个条件求得，的值，可得的值.

【详解】

由题意可得，对称轴所在的直线即为点与点构成的线段的中垂线.

由于点与点连成的线段的中点为，斜率为，

故对称轴所在的直线方程为，即.

再根据点与点重合，可得，求得，，

故选：A.

3．（2020·山东聊城市·高二期中）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】

因为直线与直线平行，

所以，可得，

所以，即，

所以两平行间距离公式可得，

故选：A

4．（2019·浙江高二学业考试）若两条直线与平行，则与间的距离是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据直线平行可求，再根据平行线之间的距离公式可求两直线之间的距离.

【详解】

因为与平行，故，故，

所以，此时与平行，

又与之间的距离为，

故选：D.

5．（2020·上海市金山中学高二期中）若直线与平行，则与间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先利用与平行求出的值，再利用两直线间的距离公式即可求解.

【详解】

因为直线与平行，

所以，解得：或，

当时，，此时与重合，不符合题意，

当时，，即，

此时与间的距离为 ，

故选：B

6．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高二期中）直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用两直线垂直的公式求出，两直线联立求交点坐标即可.

【详解】

由直线与直线互相垂直，

可得，

即，

所以直线的方程为：；

由，

得它们的交点坐标为.

故选：B.

7．（2020·北京临川学校高二期中（文））已知点，，且，则实数等于（    ）

A．1 B．3

C．1或3 D．或3

【答案】C

【分析】

根据两点间的距离公式可解得结果.

【详解】

因为，

所以，即，解得或，

故选：C

8．（2020·吉安县第二中学高二期中）已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（    ）

A．0 B．－4 C．24 D．－22

【答案】B

【分析】

由直线垂直的性质可得，将点的坐标代入直线方程中即可得、，即可得解.

【详解】

由直线与直线互相垂直可得，解得，

所以直线即为，

将点代入上式可得，解得，

将点代入方程得，解得，

所以.

故选：B.

9．（2020·浙江宁波市·高二期中）已知，且满足，，则的最小值为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】

转化条件为点在直线上，点在直线上，，再由平行线间的距离即可得解.

【详解】

设点，，直线，直线，

由题意，点在直线上，点在直线上，

所以，

显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，

即.

故选：A.

10．（2020·安徽宿州市·高二期中（理））已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，光线恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据光路可逆，易知圆心关于直线的对称点，在入射光线上，由此可求得结果.

【详解】

圆：，圆心为，

由已知，反射光线经过，

故C点关于直线的对称点M在入射光线上．

设，则，解得，即，

且光源，所以入射光线的斜率，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：

（1）由光线恰好平分圆的周长，得出所在直线经过圆心；

（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.

11．（2020·安徽黄山市·屯溪一中高二期中）若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.

【详解】

点关于直线对称的点为,如图

则,所以

当且仅当三点共线时取得等号.

故选：C

12．（2020·全国高三专题练习（文））已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.

【详解】

直线方程变形得：.

由得，∴直线恒过点，

，，

由图可知直线的斜率的取值范围为：或，

又，

∴或，即或，

又时直线的方程为，仍与线段相交，

∴的取值范围为.

故选：C.

【点睛】

本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.

13．（2020·全国高三专题练习（理））已知实数，若三条直线，，围成的三角形面积为4，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先由直线方程求出三个交点坐标，根据点到直线距离公式，以及两点间的距离公式，表示出三角形的面积，得到，再结合基本不等式，即可得出结果.

【详解】

由解得，即；

由解得，即，

由解得，即，

因此点到直线的距离为：

，

又这三条线围成的三角形面积为，

所以

，

因为，

所以

，

当且仅当时，等号成立；

所以，即，即，即，

即的最大值是.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键在于根据题中三角形的面积，结合面积公式、点到直线距离公式等，得到三条线斜率之间的关系，再利用基本不等式进行处理，得到，之间关系，即可得出结果.

14．（2020·福建厦门市·厦门一中高二开学考试）对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先将的取值与x，y无关,转化为圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,继续转化为直线必与圆相离或相切,且圆在与之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且,解不等式组可得答案.

【详解】

因为的取值与x，y无关,

所以的取值与x，y无关,

所以的取值与x，y无关,

即圆上的点到直线的距离与到直线的距离之和与无关,

因为圆心到直线的距离为,

所以直线与圆相离,

所以直线必与圆相离或相切,且圆在与之间,

所以,且,

所以或 且,

所以.

故选:A

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线必与圆相离或相切,且圆在与之间是解题关键,属于中档题.

15．（2020·全国高三专题练习）已知函数，若存在非零实数，使得成立，则的最小值为（    ）．

A． B． C．16 D．4

【答案】A

【分析】

由函数，结合存在非零实数，，则有存在实数，使成立，再根据的几何意义，记，．则，表示关于动点的直线，然后将原点与点的距离转化为原点到直线的距离求解.

【详解】

因为函数，

所以

因为存在非零实数，，

所以存在实数，使成立，

又的几何意义为坐标原点与点的距离的平方，

记，，则．

故，

即为，表示动点的轨迹，

设为直线，则原点与点的距离的最小值为原点到直线的距离，

故，

因为，在上是增函数，

所以，

所以，当时，取等号.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查函数的性质以及轨迹问题和点点距，点线距的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和转化求解问题的能力，属于难题.

二、填空题

16．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如果直线与直线平行，则它们之间的距离为_________

【答案】

【分析】

根据两直线平行，列出等式求解,得出参数，再由两平行线间的距离公式，即可得出结果.

【详解】

因为直线与直线平行，

所以，解得.

此时直线与直线显然平行，满足题意.

则这两条平行线间的距离为.

故答案为：.

17．（2020·遵义市新蒲新区北师大附属高级中学有限责任公司高二期中）已知点到直线的距离不小于，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】

根据点到直线的距离公式可得解出可得结果.

【详解】

解：由题意可得：，

化为，

解得或.

故答案为.

【点睛】

本体考察了不等式的性质、点到直线的距离公式，考察了推理能力和计算能力，属于基础题.

18．（2020·全国高三专题练习（理））若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________.

【答案】2或－6

【分析】

由直线平行可得，再根据平行线间的距离公式即可求出.

【详解】

由两直线平行知，，解得，

即直线可化为，

又两平行线之间的距离为，所以，解得c＝2或－6.

故答案为：2或－6.

19．（2020·全国高三专题练习（文））已知三边所在直线的方程为AB：，BC：，CA：，则AC边上的高所在的直线方程为______________.

【答案】

【分析】

联立方程组解得的坐标，根据垂直得到AC边上的高所在的直线的斜率，再根据点斜式可得结果.

【详解】

由得，所以交点的坐标为.

因为边上的高所在的直线的斜率，

∴边上的高所在的直线方程为，即.

故答案为：.

20．（2020·四川省资中县第二中学高二月考（理））两条平行线：与：的距离为______.

【答案】

【分析】

利用两平行线间的距离公式即可求出结果.

【详解】

直线：转换为

所以.

故答案为：.

21．（2020·上海市行知中学高二期中）已知点，点､分别是轴和直线上的两个动点，则的最小值等于_________.

【答案】

【分析】

利用对称性，作点关于轴的对称点，，利用数形结合求的最小值.

【详解】

作点关于轴的对称点，

则，

最小值即为到直线的距离，

，所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点，则，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算的最小值.

22．（2020·全国高三专题练习（理））已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

【答案】

【分析】

先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.

【详解】

由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，

直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝，当a＝时，面积最小.

故答案为：.

【点睛】

本题解题关键是找出定点，数形结合，将四边形分成两个三角形求面积的表达式，再求最值.

三、解答题

23．（2020·上海黄浦区·格致中学高二期中）已知的顶点，的平分线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求 .

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出点关于直线和对称的点，利用两个对称点都在直线上，即可求得边所在的直线方程；

（2）联立直线方程求出两点的坐标，利用两点间距离公式求出三条边长，再利用余弦定理即可求得.

【详解】

（1）作点关于的平分线的对称点，

作点关于的平分线的对称点，

由题意得，，，四点共线，

所以直线的方程为，即；

（2）由得，由得，

又，

所以，

，

，

由余弦定理得，

所以.

【点睛】

关键点点睛：根据角的两边所在的直线关于角的平分线所在的直线对称，可得与关于直线对称，与关于直线对称，所以点关于直线，对称的点都在直线上，即可求得边所在的直线方程；第二问求角要想到利用余弦定理，因此需要求两点的坐标，利用两点间距离公式求三边长.

24．（2020·上海市向明中学高二期中）已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．

（1）判断与的位置关系，并用t表示点P的坐标；

（2）求的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．

【答案】（1）垂直，；（2），最小时或，最大时．

【分析】

（1）可得时，显然，时，由可得；联立直线方程可求得P的坐标；

（2）可得，由即可求得取值范围.

【详解】

（1）当时，，，显然，

当时，，则，则，

综上，，

联立直线方程，解得，

；

（2）由（1）知，

，，则，则，

即，则，

当时，即时，取得最小值为1，此时或，

当时，即时，取得最大值为，此时.

【点睛】

关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P坐标，将化成关于的式子即可求解.

25．（2020·浙江省杭州第二中学高二期中）如图，已知点，，直线过原点，且、两点位于直线的两侧，过、作直线的垂线，分别交于、两点．

（1）当、重合时，求直线的方程；

（2）当时，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出直线的斜率，由可求得直线的斜率，进而可求得直线的方程；

（2）设直线的方程为，可知，利用点到直线的距离公式结合可求得的值，进而可求得、，利用勾股定理可求得、，由此可求得.

【详解】

（1）当、重合时，，

直线的斜率为，所以，直线的斜率为，

因此，直线的方程为；

（2）设直线的倾斜角为的方程为，可知，

则，，

，可得，解得，

，，由勾股定理可得，，

因此，.

【点睛】

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

26．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知直线：．

（1）已知点，若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程；

（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程．

【答案】（1）最大值5，此时：；（2）面积最小值为4，此时直线的方程为．

【分析】

（1）注意到直线必过点，故点到直线的距离为满足，当且仅当垂直于直线，垂足为时，再根据等号成立解得，进而得此时直线方程.

（2）根据题意得以，，且，进而得的面积，再根据基本不等式求解即可.

【详解】

解：（1）因为点到直线的距离为，

于是有，

由直线：的表达式变形得：，

所以直线必过点，

根据点与直线间的关系可知，

于是当且仅当垂直于直线，垂足为时，

点到直线的距离取最大值，此时有，

解得，代入直线方程，得到：．

（2）依题意，直线在轴上的截距为，

在轴上的截距为，且，

所以，，

故，

当且仅当，即时取等号，故的最小值为4，

此时直线的方程为．

【点睛】

本题考查直线的方程的求解，考查回归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于发现直线必过点，进而得；第二问解题的关键是根据题意得，，，进而利用基本不等式求解即可.

27．（2020·遵义市新蒲新区北师大附属高级中学有限责任公司高二期中）已知直线方程为，其中.

（1）当变化时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于，两点，求面积的最小值及此时的直线方程.

【答案】（1）（2）4，

【分析】

（1）求出动直线所过定点,当变化时，直线时，点到直线的距离的最大．

（2）直线的斜率存在且，因此可设直线的方程为，求出直线在轴、轴的截距．可得的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果．

【详解】

（1）直线方程为，

可化为对任意都成立，

所以，解得，

所以直线恒过定点.

设定点为,当变化时，直线时，

点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即.

（2）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，

因此可设直线方程为

可得与轴、轴的负半轴交于，两点

∴，，解得．

∴

当且仅当时取等号，面积的最小值为4

此时直线的方程为：，化为：．

【点睛】

关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.

28．（2020·北京人大附中高二期中）已知三角形的顶点为，，.

（1）求直线的方程；

（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.

①求点关于直线的对称点的坐标.

②若直线过点且与直线交于点，，求直线是的方程.

【答案】（1）；（2）① ；②或.

【分析】

(1)由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；

(2)选①由对称点的性质即可求出；

选②设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.

【详解】

解：（1）因为直线的斜率为，

所以直线的方程为：，

即直线的方程为：；

（2）问题①：

设的坐标为，则

解得:

点的坐标是；

问题②：

设的坐标为，

，

，

解得：或，

的坐标为或，

直线的方程为或.

【点睛】

方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：

一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；

二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；

三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.