考点09 点、直线、平面之间的关系基础题汇总-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）
展开考点09 点、直线、平面之间的关系
一、单选题（共15小题）
1.（2020•浦东新区一模）下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥α
D．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c共面
2.（2020•虹口区一模）在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面α，使得点A、B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3.（2020•青浦区一模）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4.（2020秋•和平区校级月考）已知两条异面直线的方向向量分别是＝（3，1，﹣2），＝（3，2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A．sinθ＝ B．sinθ＝ C．cosθ＝ D．cosθ＝
5.（2020春•尖山区校级期末）如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6.（2020•西湖区校级模拟）正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与直线RS异面的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2020春•天河区期末）已知两条直线l、m与两个平面α、β，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是（ ）
①若l∥m，则α∥β
②若α∥β，则l∥β
③若α⊥β，则l⊥m
④若l⊥β，则α⊥β
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
8.（2020秋•成都月考）若α、β、γ是空间中三个不同的平面，α∩β＝l，α∩γ＝m，γ∩β＝n，则l∥m是n∥m的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.（2020秋•上高县校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1和BB1的中点，则直线DN与直线AM所成角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
10.（2020秋•秦都区校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
11.（2020秋•东至县月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为C1D1中点，则BM与AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12.（2020秋•章丘区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC，CC1的中点，则异面直线MN与AB1所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
13.（2020秋•东至县月考）如图，A，B，C，D，P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内，PB＝PD，PA＝2PC，则PA与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14.（2020•浙江模拟）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，侧棱SB与平面ABC所成的角为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
15.（2020秋•贵池区校级期中）如图，边长为4正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，将△AED，△DCF沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，点M在平面EFD内，且PM＝2，则直线PM与BF夹角余弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
16.（2020•闵行区一模）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是 ．
17.（2020秋•海曙区校级期中）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为 ．
18.（2020秋•历下区校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是 ．
19.（2020•十三模拟）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FC∥ED，且AB＝ED＝2FC＝2，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为 ，多面体ABCDEF的体积为 ．
20.（2020•十一模拟）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所成角的余弦值为 ；当△CDE的面积最小时，DE＝ ．
21.（2020•浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点F是棱AA1的中点，AC与BD的交点为O，点M在棱BC上，且BM＝2MC，动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且TM⊥OF，则直线B1F与TM所成角的余弦值为 ．
22.（2020秋•余姚市校级月考）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 ．
23.（2020秋•永州月考）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为 ．
24.（2020秋•安徽月考）已知四面体ABCD的所有棱长均为6，过D作平面α使得BC∥α，且棱AB，AC分别与平面α交于点E，F，若异面直线DE，BC所成角的余弦值为，则AE的长为 ．
25.（2020秋•瑶海区校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M、N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
①不论D折至何位置（不在平面ABC内，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；
④不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有EC不垂直AD．
三、解答题（共10小题）
26.（2020•浦东新区一模）如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）
27.（2020•长宁区一模）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为2．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值，
28.（2020春•湖南月考）已知如图甲，在矩形AA1B1B中，AB＞AA1，C，C1分别在AB，A1B1上，且AC＝A1C1＝AA1．现将四边形AA1C1C沿CC1折起，使平面AA1C1C⊥平面BB1C1C得到几何体乙，设D，E分别为AA1，BC1的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：BD⊥DC1．
29.（2020春•烟台期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）若AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P，Q，R三点共线．
30.（2020春•密云区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）证明：AC⊥PB．
31.（2020•临川区校级一模）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：
（1）MN∥平面A1B1C1；
（2）平面MBC1⊥平面BB1C1C．
32.（2020•中山区校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．AB＝2，AD＝PA＝1，PH＝．
（Ⅰ）求证：平面APE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
33.（2020•虹口区一模）如图在三棱锥P﹣ABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，AB＝AC＝AP＝3，点M在AP上，且AM＝1．
（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；
（2）求三棱锥P﹣BMC的体积．
34.（2020•闵行区一模）如图，在圆柱OO1中，AB是圆柱的母线，BC是圆柱的底面⊙O的直径，D是底面圆周上异于B、C的点．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若BD＝2，CD＝4，AC＝6，求圆柱OO1的侧面积．
35.（2020•青浦区一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求异面直线BD1与AP所成角的大小．
