考点07 直线的两点式方程-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点07   直线的两点式方程

一、单选题

1．（2020·安徽省颍上第二中学高二期中（理））过点和的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由两点式方程即可求出.

【详解】

由两点式得，，

整理得.

故选B.

2．（2020·全国高三专题练习）已知函数，则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的(    )

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【分析】

由导数的几何意义有：曲线在点处的切线的斜率为，再由充要性即可得解．

【详解】

函数，

所以，

所以，

因为当时，曲线在点处的切线为，此时切线与坐标轴围成的面积是，

当时，曲线在点处的切线为，此时切线与坐标轴围成的面积是，

则“”是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为“的充分不必要条件，

故选：D．

【点睛】

本题考查了充分必要条件及导数的几何意义，属基础题．

3．（2020·全国高二课时练习）经过与两点的直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知得，两点的纵坐标相等，所以，该直线的斜率为0，可得直线方程为

【详解】

由两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线的方程为.

【点睛】

本题考查已知两点求直线方程，属于基础题

4．（2020·全国高二课时练习）经过点,的直线在x轴上的截距为(    )

A．2 B． C． D．27

【答案】D

【解析】

试题分析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0得x＝27．故选D．

考点：求直线方程及截距．

5．（2020·全国高二课时练习）过两点和的直线在轴上的截距为(     ) .

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】

直线方程为=，

化为截距式为+=1，则在x轴上的截距为-.

故答案选A．

6．（2020·全国高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】

由于直线过点，所以直线在轴上的截距为，结合题意，即可求出直线在轴上的截距为1或，最后根据直线的截距式方程，即可求出直线方程.

【详解】

解：由题可知，直线过点，所以直线在轴上的截距为，

又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在轴上的截距为1或，

则所求直线方程为或．

故选：D.

【点睛】

本题考查直线的截距式方程的求法，属于基础题.

7．（2020·汕头市澄海中学高二期中）下列说法错误的是（    ）

A．若直线与直线互相垂直，则

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．过，两点的所有直线的方程为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ACD

【分析】

．根据直线垂直的等价条件进行判断，

．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，

．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．

．过原点的直线也满足条件．

【详解】

解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误，

．直线的斜率，则，即，则，故正确，

．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，

．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，

故选：．

8．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（理））下列说法错误的个数是（    ）

①平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

②直线与轴的交点到原点的距离为

③在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

④不能表示过且斜率为的直线方程

⑤两条直线中，斜率越大则倾斜角越大

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】

由直线的方程的几种形式所适用的范围，逐一判断可得选项.

【详解】

对于①：当直线的斜率不存在时，直线不能用斜截式，故①不正确；

对于②：中的b，有正，有负，或是0，所以直线与轴的交点到原点的距离为，故②不正确；

对于③：当直线的在轴、轴上的截距不为0时，才可以表示成，故③不正确；

对于④：因为中需满足，所以不过，故④正确；

对于⑤：当一条直线的斜率是正的，另一条直线的斜率是负的，由于正数大于负数，而此时斜率大的直线的倾斜角是锐角，斜率小的直线的倾斜角是钝角，不满足斜率越大，倾斜角越大，故⑤不正确；

所以错误的命题有4个，

故选：C.

9．（2020·全国高二课时练习）在轴和轴上的截距分别为和5的直线方程是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意知，直接代入直线可得答案.

【详解】

题意知，代入直线的截距式方程可得

．

故选:C.

【点睛】

本题考查了直线方程的截距式，考查了截距的概念，属于基础题.

10．（2020·全国高二课时练习）已知直线l过原点，且平分平行四边形的面积，若平行四边形的两个顶点分别为，则直线l的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由已知得直线l必过平行四边形对角线的交点，根据中点坐标公式可得选项.

【详解】

由于直线l平分平行四边形的面积，因此其必过平行四边形对角线的交点，

而，所以对角线的交点为，又直线l过原点，所以其方程为．

故选：D.

【点睛】

本题考查直线方程的几何应用，属于基础题

11．（2020·全国高二课时练习）在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（    ）

A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆

【答案】C

【分析】

去掉绝对值，即可判断图象形状.

【详解】

当时，方程为；

当时，方程为；

当时，方程为；

当时，方程为，

因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形．

故选：C.

【点睛】

本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题.

12．（2020·全国高二课时练习）过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程是（ ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【解析】

试题分析：当此直线经过原点时,又过点,所以直线方程为；当此直线不过原点时,设此直线方程为,点在此直线上,所以,此时直线方程为.综上,满足题意得直线方程为或,故选B.

考点：1.求直线的方程；2.截距的概念.

13．（2020·全国高二课时练习）过和两点的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

当时，过点的直线的斜率存在，由点斜式方程写出并整理即可，当时，过点的直线方程是或，再验证是否适合上式即可.

【详解】

当时，过点的直线的斜率，直线方程是，

整理得；

当时，过点的直线方程是或，

即或，

满足．

∴过两点的直线方程是．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.

14．（2020·全国高二课时练习）下列说法中不正确的是(     ).

A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.

B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.

C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.

D．截距式适用于不过原点的任何直线.

【答案】D

【分析】

由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件．

【详解】

点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；两点式中分母不能为零点，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确，截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行．D错误．

故选D．

【点睛】

本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析．

15．（2020·全国高二课时练习）下列说法：①表示过定点且斜率为的直线方程；②直线和轴交于点为原点，那么；③一条直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，那么该直线的方程是；④方程表示过点的直线．其中错误的有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】

不包含，所以表示过定点且斜率为的直线方程；①错误； 是点的纵坐标，可正，可负，可为零，②错误；当时，直线方程不能写成，③错误；方程 表示过点的直线，④正确，故选D．

二、填空题

16．（2020·重庆高三月考）若光线由点射到x轴上，反射后过点，则反射光线所在直线方程是______.

【答案】

【分析】

求出关于x轴的对称点坐标，由直线的两点式方程即可求出反射光线所在的直线方程.

【详解】

解：关于x轴的对称点在反射光线上，所以，

整理得，，

故答案为: .

17．（2020·全国高三专题练习（文））设直线l过点，它被平行线与所截的线段的中点在直线上，则l的方程是________.

【答案】

【分析】

由于到平行线与距离相等的直线方程为，然后由可求出直线l被平行线与所截的线段的中点坐标，再利用两点式可求得方程

【详解】

解：因为到平行线与距离相等的直线方程为.

所以联立方程组解得，

所以直线l被平行线与所截的线段的中点为.

所以直线l的两点式方程为，

即.

故答案为：，

【点睛】

此题考查直线方程的求法，考查计算能力，属于基础题

18．（2020·全国高二课时练习）过点作直线分别交轴，轴正半轴于，两点，为坐标原点.当取最小值时，直线的方程为___________.

【答案】.

【分析】

设点，，写出直线的截距式方程，代入点坐标，利用基本不等式求出的最小值以及对应的、，从而求得直线的方程．

【详解】

解：由题意设，，其中，为正数，

则直线的截距式方程为，代入点得；

所以，

当且仅当，即且时，上式取等号；

此时直线的方程为，即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直线的方程与应用问题，也看出来基本不等式求最值问题，属于中档题．

19．（2020·上海黄浦区·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.

【答案】

【分析】

设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.

【详解】

易知直线的斜率存在且不为零，

设直线的方程为，即.

在直线的方程中，令，可得；令，可得.

所以，点、.

由已知条件可得，解得.

的面积为.

当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，直线的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.

20．（2020·全国高二单元测试）已知中，，，点C在直线上，若的面积为10，则点C的坐标为______.

【答案】或

【分析】

求出的距离，利用三角形的面积求出到直线的距离，求出的方程，结合点在直线上，利用点到直线的距离公式求出的坐标.

【详解】

设点到直线的距离为，

由题意知：，

，

直线的方程为，即，

点在直线上，

设，

，

或，

的坐标为或，故答案为或.

【点睛】

本题主要考查点到直线距离公式以及直线的两点式方程的应用，意在考查计算能力以及函数与方程思想的应用，属于中档题.

21．（2020·全国高二课时练习）直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_________．

【答案】3x﹣2y+12=0

【详解】

设A（x，0）、B（0，y），由中点坐标公式得：

解得：x=﹣4，y=6，由直线过点（﹣2，3）、（﹣4，0），

∴直线的方程为：，

即3x﹣2y+12=0．

故答案为3x﹣2y+12=0

22．（2020·山东高三专题练习）设直线l为曲线在点处的切线，则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是__________．

【答案】12

【分析】

首先求出导函数，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程，进而求出直线与坐标轴的交点，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，则，

所以，

则在点处的切线方程为：，

即，

当时，，

当时，，

则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积：

，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：12

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则、基本不等式求最值，属于中档题.

23．（2020·全国高二课时练习）在平面直角坐标系上，有一点列，设点的坐标，其中，过点的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，设表示数列的前项和，则__________．

【答案】

【解析】

由题意得过点的直线方程为，与两坐标轴交点分别为，所以，因此

三、解答题

24．（2020·全国高三专题练习（理））求满足下列条件的直线方程.

（1）斜率为，经过点；

（2）斜率为，在轴上的截距是；

（3）经过两点和；

（4）经过两点和.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【分析】

（1）写出直线的点斜式方程，化为一般方程即可；

（2）写出直线的斜截式方程，化为一般方程即可；

（3）写出直线的两点式方程，化为一般方程即可；

（4）写出直线的截距式方程，化为一般方程即可.

【详解】

（1）由题意可知直线的方程为，即为；

（2）由题意可知直线的方程为，即为；

（3）由题意可知直线的方程为，即为；

（4）由题意可知直线的方程为，即为.

25．（2020·全国高二课时练习）已知的三个顶点都在第一象限，且，，，求：

（1）边所在直线的方程；

（2）边和边所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）AC边和BC边所在直线的方程分别是.

【分析】

（1）由已知得直线平行于x轴，可求得直线的方程；

（2）由已知得直线的倾斜角，求得直线AC的斜率，再利用直线的点斜式方程可求得直线的方程，求直线的方程运用类似的方法．

【详解】

（1）因为，所以直线平行于x轴，所以直线的方程为．

（2）由题意知，直线的倾斜角为，又，所以．

又直线过点，所以直线的方程为，即．

又直线的倾斜角为，所以．

又直线过点，所以直线的方程为，即．

【点睛】

本题考查求直线的方程，关键在于运用已知条件确定直线的斜率，属于基础题.

26．（2020·涡阳县萃文中学高二月考）已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).

（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程.

【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.

【分析】

（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；

（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.

【详解】

（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).

因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，

即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.

（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.

因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.

因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，

即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.

【点睛】

本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.

27．（2020·河南开封市·高一期末）三角形的三个顶点是.

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求边上的高所在直线的方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）先求出的中点为，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出边上的高所在直线的斜率为，再利用点斜式求出直线的方程.

【详解】

（1）的中点为，

由两点式可得，

所以所求直线方程为.

（2）边所在直线斜率为，边上的高所在直线的斜率为，

由点斜式可得，所以所求直线方程为.

【点睛】

本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

28．（2020·黑龙江高一期末）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y+1＝0．

（1）求直线l方程；

（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）求出交点的坐标，由垂直得直线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即得，

（2）求出直线与坐标轴的交点坐标后可得面积．

【详解】

（1）由，解得，即，又直线的斜率为，所与以其垂直的直线有斜率为，方程为，即；

（2）在中分别令得它与坐标轴的交点分别为，，

所以直线与坐标轴围成的三角形面积为．

【点睛】

本题考查求直线方程，考查求直线的交点坐标，两直线垂直的关系，考查直线与坐标轴围成的三角形面积，属于基础题．

29．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一期中）求分别满足下列条件的直线l的方程．

（1）经过直线和直线的交点且与直线垂直；

（2）与直线平行且与坐标轴围成的三角形面积为．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】

（1）将和联立，求出交点，又可知直线斜率为，利用点斜式方程求出并化简即可．

（2）设所求直线方程为，求出与坐标轴交点坐标，根据三角形面积为3，得出关于的方程并求解，再得出所求直线方程．

【详解】

解：（1）将与联立得，解得

所以交点坐标为．

由所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为，

所以方程为，

从而所求直线方程为

（2）依题意设直线方程为，则直线过点、

所以，解得，

故直线方程为或

【点睛】

本题考查直线方程求解，平行直线系与垂直直线系．考查分析、计算能力．

30．（2020·全国高二课时练习）求分别满足下列条件的直线l的方程.

(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;

(2)经过两点，;

(3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.

【答案】（1）y＝x±3.（2）当m≠1时，y＝(x－1)，当m＝1时， x＝1.（3）x＋y＝1或或y＝－x.

【详解】

试题分析：(1)利用斜截式设出直线方程，得到直线的截距，表示三角形的面积，从而得到直线l的方程；(2)分三种情况讨论，过原点，不过原点斜率为1，不过原点斜率为-1，从而得到直线的方程

试题解析：

(1)设直线l的方程为y＝x＋b.

令y＝0，得x＝－b，

∴|b·(－b)|＝6，b＝±3.

∴直线l的方程为y＝x±3.

(2)当m≠1时，直线l的方程是

＝，即y＝ (x－1)

当m＝1时，直线l的方程是x＝1.

(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.

当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；

∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.

又∵|a|＝|b|，

∴，解得，或.

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

∴l的方程为y＝－x.

综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x.