初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀同步训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀同步训练题，共7页。

【巩固练习】


一、选择题


1. （2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）


A．x1=﹣3，x2=﹣1B．x1=1，x2=3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣3，x2=1


2．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）


A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3


3．若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）


A．0B．0或2C．2或-2D．0，2或-2


4．如图所示的二次函数(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)；(2)；(3)；(4)．你认为其中错误的有( )





A．2个 B．3个 C．4个 D．1个


5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：


①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．


其中正确结论的个数为（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


6．（2014•济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程


1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）


A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b





二、填空题


7． （2016•大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 ．





8．如图所示，函数y＝(k-8)x2-6x+k的图象与x轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．





第8题 第9题


9．已知二次函数(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别为和________．


10．已知二次函数的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的△ABC的面积是________．


11．（2015•凉山州一模）如图抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论：①b=﹣4a；②a+c+c＞0；③5a﹣2b+c＞0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；


其中正确的是 （填题号）





12．一元二次方程x2+(k-1)x+1=0的一根大于2，一根小于2，则k的取值范围是 .


三、解答题


13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．


(1)求k的取值范围；


(2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABC是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．








14．（2014•南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．


（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；


（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

















15．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.


(1)求此抛物线的解析式；


(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.





【答案与解析】


一、选择题


1.【答案】C．


【解析】∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），


∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，


∵抛物线的对称轴为：直线x=1，


∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），


∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．


2.【答案】B；


【解析】当时是一次函数，即k=3函数图象与x轴有一个交点；


当k-3≠0时此函数为二次函数，当△＝≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点．


综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B．


3.【答案】D；


【解析】分为两种情况：①当函数是二次函数时，


∵函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，


∴△=（m+2）2-4m（m+1）=0且m≠0，


解得：m=±2，


②当函数时一次函数时，m=0，


此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，


故选D．


4.【答案】D；


【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，


∴ ，故(1)正确；又抛物线与y轴的交点在(0，1)下方，


∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1与0之间，即，


又，∴ ，即，故(3)正确；


当，函数值小于0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确．


5.【答案】C；


【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2-4ac＞0，所以①错误；


∵顶点为D（-1，2），


∴抛物线的对称轴为直线x=-1，


∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，


∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，


∴当x=1时，y＜0，


∴a+b+c＜0，所以②正确；


∵抛物线的顶点为D（-1，2），


∴a-b+c=2，


∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，


∴b=2a，


∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；


∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，


即只有x=1时，ax2+bx+c=2，


∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．


故选C．


6.【答案】A；


【解析】依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．


函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．


方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0


转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，


方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．


由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．


由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．


综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．














二、填空题


7.【答案】（﹣2，0）．


【解析】由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，


设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得


=，


解得x=﹣2，


即A点坐标为（﹣2，0）.


8．【答案】；


【解析】∵ 函数的图象与x轴只有一个公共点，


∴ 方程有两个相等的实数根．


∴ △＝．解得k＝9或k＝-1．


又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即k＜8．


∴ k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得．


所以函数的图象与x轴的交点坐标为．


9．【答案】-3.3；


【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是，到对称轴的距离为，又因为到对称轴的距离为2.3，所以．


10．【答案】1；


【解析】依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为，令y＝0，得x＝±1．


所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，．


11．【答案】①③④；


【解析】①对称轴是x=2，﹣=2，b=﹣4a，①正确；


②当x=1时，y＜0，∴a+c+c＜0，②不正确；


③当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2c+c＞0，开口向上，a＞0，


∴5a﹣2b+c＞0，③正确；


④抛物线与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，④正确；


故答案为①③④．


12．【答案】；


【解析】方程一根大于2，一根小于2抛物线y=x2+(k-1)x+1与x轴的两个公共点分布在点(2，0)的两侧，由于抛物线开口向上，


∴当x=2时，y<0，即22+2(k-1)+1<0








三、解答题


13.【答案与解析】


(1)由题意，得，


∴ ，即k的取值范围是．


(2)设，，则，．


∴ ．


∵ ，又△ABD是等腰直角三角形，


∴ ，即．


解得，．


又∵ ，∴ 舍去．


∴ 抛物线的解析式是．





14.【答案与解析】


证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，


∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，


即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；


（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，


把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），


因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，


所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．








15.【答案与解析】


(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)


∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，


当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2


∴A(1，0)，B(5，0)，∴a(1-3)2-2=0，解得


.


(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，


，


又


∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7


当n=-6时，，无实根


∴Q(-1，6)或(7，6)为所求.