数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习

这是一份数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习，共15页。试卷主要包含了二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与不等式的关系等内容，欢迎下载使用。

22.3用函数观点看一元二次方程

要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式

二次函数
一元二次方程

图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0


抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根


△＝0


抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根


△＜0


抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）


要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式

抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0

或

△＝0

（或）
无解
△＜0

全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．

类型一、二次函数图象与坐标轴交点
例1、已知函数的图像与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且


练习1：二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。




练习2:小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）

A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4

练习3：抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式 ax2+bx+c＞0 的解集是

练习4：二次函数的图象如右图所示，则m的值是（ ）
A．-8 B．8 C．±8 D．6





例2、二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3

练习：已知函数 y=x2+2x-3，当 x=m 时，y＜0，则m的值可能是（ ）
A．4 B．0 C．2 D．3


类型二、利用二次函数图象求一元二次方程的解
例3、已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
（﹣1，0）     B．（4，0）     C．（5，0）    D．（﹣6，0）

练习：若二次函数的图像过点（－2，0），则关于x的方程的实数根为        
A.     B.    C.    D.

例4、已知一元二次方程 x2+px+q=0（p2-4q≥0）的两根为 x1、x2；
求证：x1+x2=-p，x1•x2=q。




练习：已知抛物线y=x2+px+q 与x轴交于 A、B 两点，且过点（-1，-1），设线段 AB 的长为d，当p为何值时，d2 取得最小值，并求出最小值。








例5、已知抛物线与x轴交于A 、 B两点。
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O是坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积
解析：（1）证明抛物线的对称轴<0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）根据题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式；
（3）先设出C点坐标，根据的x1与x2关系求出m值，进而可求得△ABC的面积．







练习：已知抛物线与x轴没有交点。
（1）求c的取值范围；（2）试确定直线y＝cx+1经过的象限，并说明理由。







类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
例6、已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．
解析：（1）①当m=0时，原方程可化为x-2=0，解得x=2；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）
=m2+2m+1
=（m+1）2≥0，故方程恒有两个实数根；
故无论m为何值，方程恒有实数根．
（2）∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴ ，
整理得，3m2﹣2m﹣1=0，
解得m1=1（舍去），m2=﹣．
则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．

练习：已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．



例7、已知：如图所示，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S．
解析：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入得解之
所以抛物线的解析式为．
(2)设C(，)，则有 解得或
∴ C(4，3)．
由图可知：．
又由抛物线的对称轴为可知E(2，0)．
∴.
类型四、二次函数abc符号
例8、如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac ③3a＋c>0；④当y>0时，x的取值范围是－1≤x<3；⑤当x<0时，y随x的增大而增大.
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
练习：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．
下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4


例9、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4
解析：由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0，
对称轴为<1，∵a<0，∴2a+b<0，
而抛物线与x轴有两个交点,∴b2−4ac>0，
当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2.
∵>2， ∴4ac−b2<8a， ∴b2+8a>4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0.
由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，
上面两个相加得到6a<−6，

练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac.其中正确的有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1、下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）
A．没有交点 B．只有一个交点，且它位于y轴右侧
C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧
2、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　　　　　　．
3、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　　　　　　．
4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线　　　　　　．
5、已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是　　　　　　．
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　）
A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4

7、已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5         B．m≥2         C．m＜5         D．m＞2
8、如图是抛物线y=ax2+bx+c的大致图象，则一元二次方程ax2+bx+c=0 （　　）
A．有两个不等的实数根          B．有两个相等的实数根
C．没有实数根               D．无法确定



9、已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2
C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
10、已知抛物线 y=ax2-2x+1 与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A． 第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
11、已知函数 y＝mx2-6x＋1（m 是常数）。
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值。




12、抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0


13、如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．



14、已知抛物线y=（x-m）2-（x-m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．











15.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A，B，C 三点，当x≥0 时，其图象如图示．
（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
（2）画出抛物线 y=ax2+bx+c 当 x＜0 时的图象；
（3）利用抛物线 y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．



16.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间．则下列结论：
①a﹣b+c>0；
②3a+b=0；
③b2=4a(c﹣n)；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

17.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点B(-1.5,y1)、C(-2.5,y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2；
③2a﹣b=0；
④.其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
(1)4a+b=0；（2）9a+c>3b；(3)8a+7b+2c>0；
(4)若点A(-3,y1)、点B(-0.5,y2)、点C(3.5,y3)在该函数图象上,则y1 (5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2,且x1 其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

22.3用函数观点看一元二次方程
例1- 练习1：【答案】据题意，列

练习2.D 练习3. 练习4.C 例2.D 练习：B 例3.B
练习：A 例4-练习：4 例5-练习：（1） （2）一，二，三
例6-练习：解答：
（1）m>−1；
(2)P点的坐标为(1,2).
例8.B练习：D 例9.D 练习：D
课后巩固
1. D 2.0 3.8 4. 5.3 6.A 7.A 8.A 9.B 10.D
11.(1) 根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2 -6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．(2)若函数y=mx2 -6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
12.A 13.（1） （2）HF=
14.(1)证明：y=(x−m)2−(x−m)=x2−(2m+1)x+m2+m，
∵△=(2m+1)2−4(m2+m)=1>0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)①抛物线解析式为y=x2−5x+6；
②把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点。
15.(1)抛物线的解析式为y=−x2+x+2.
顶点坐标为().
(2)所画图如图。
(3)由图象可知，当−10.
16.C 17.B 18.B