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人教版九年级上册21.1 一元二次方程课堂检测
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这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程课堂检测，共32页。试卷主要包含了76等内容，欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴 ，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象 ；
当方程组有两组相同的解时两函数图象 ；
当方程组无解时两函数图象 ．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与
的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与 就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的
就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的 即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知抛物线．求：
(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【即学即练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
(3)求y的取值范围．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例2】利用函数的图象，求方程组的解.
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例3】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【即学即练2】已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【典例4】如图，二次函数的图象与x轴交于A(﹣3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是( )
A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4
2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是( ).
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0B．x1＝3，x2＝－1
C．x＝－3D．x1＝－3，x2＝1
4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )
A.k＞ B.k≥ C. k≥且k≠0 D. k＞且k≠0
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是( )
A．b2-4ac＜0B．a+b+c＜0
C．c-a=2D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根
QUOTE 6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．
7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．
题组B 能力提升练
1．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.
2．已知函数y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．
3．如图所示，二次函数的图象经过点(－1，2)，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
4．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
5．已知二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m为常数)
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线.
(1)若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
(2)若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
2．如图，二次函数的图像与x轴相交于A(－3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)D点坐标 ；
(2)求二次函数的解析式；
(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；
(4)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D(0，)作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
(3)当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
4．已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m为常数，且a≠0)．
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；
(3)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．
5．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3(k≠0)，
(1)当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
(2)当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
(3)由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
()自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
其中，__________．
()根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．
()观察函数图象，写出一条性质__________．
()进一步探究函数图象发现：
①方程有__________个实数根．
②关于的方程有个实数根时，的取值范围是__________．
课程标准
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
△＝0
△＜0
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
△＝0
△＜0
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
x2+2x﹣10
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
第14课 用函数观点看一元二次方程
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知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 (△＞0)．
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知抛物线．求：
(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【答案与解析】
．
(1)当，且，即当k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点．
(2)当，且2(k+1)≠0．即当k＝-3时，抛物线与x轴有唯一交点．
(3)当b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即当k＜-3时，抛物线与x轴不相交．
【总结升华】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．
【即学即练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
(3)求y的取值范围．
【答案】
解：(1)如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5或1；
(2)如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣5＜x＜1；
(3)∵抛物线与坐标轴分别交于点A(﹣5，0)，B(1，0)，C(0，5)，
设抛物线解析式为：y=a(x+5)(x﹣1)，
∵抛物线过点C(0，5)，
∴5=a×5×(﹣1)，
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣4x+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=﹣=﹣2时，
y最大=﹣(﹣2+5)(﹣2﹣1)=9，
∴y的取值范围为：y≤9．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例2】利用函数的图象，求方程组的解.
【答案与解析】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，
则方程组的解为.
【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例3】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【思路点拨】
(1)利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，则纵坐标为(m，)，E点的坐标为(m，)，可得两点间的距离为d=，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．
【答案与解析】
解：(1)∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A(，0)，B(，0)；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为(0，)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
(2)设点D的横坐标为m，则坐标为(m，)，
∴E点的坐标为(m，m)，
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣(m2﹣3m+)，
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为(，)．
【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．
【即学即练2】已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】
(1)依题意，得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
(2)∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴．
∵，∴是整数．
∴是完全平方数．
∵， ∴，∴取1，4，9，
．
当时，； 当时，；
当时，． ∴的值为2或或．
∴抛物线的解析式为或或．
【典例4】如图，二次函数的图象与x轴交于A(﹣3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
【答案与解析】
解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c常数)，
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
(2)如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
(3)∵对称轴：x=﹣1．∴D(﹣2，3)；
设直线BD：y=mx+n 代入B(1，0)，D(﹣2，3)：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=﹣x+1，
把x=0代入求得E(0，1)
∴OE=1，
又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是( )
A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4
【答案】C
【解析】
【分析】
看0在相对应的哪两个y的值之间，那么近似根就在这两个y对应的x的值之间．
【详解】
根据表格得：当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56．
∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3．
故选C．
【点睛】
本题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是根据相对应的y值判断出函数值接近于0的x的值．
2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由y1=y2，即x2=-x+3，
解得：x1=-2，x2=．
由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是-2＜x＜．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0B．x1＝3，x2＝－1
C．x＝－3D．x1＝－3，x2＝1
【答案】D
【分析】
利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据(-3,0)找到另一个交点即可解题.
【详解】
解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,
∵对称轴为x=-1,其中一个交点为(-3,0)
∴另一个交点为(1,0),
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.
4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )
A.k＞ B.k≥ C. k≥且k≠0 D. k＞且k≠0
【答案】C.
【解析】
试题分析：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥-且k≠0．
故选C.
考点：抛物线与x轴的交点．
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是( )
A．b2-4ac＜0
B．a+b+c＜0
C．c-a=2
D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以A错误；
∵顶点为D(-1，2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B正确；
∵抛物线的顶点为D(-1，2)，
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以C正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以D正确．
故选A．
考点：二次函数图象与性质.
6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【分析】
根据二次函数的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即求出方程ax2+bx+c＝0的另一个根.
【详解】
∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(-3，0)，对称轴为直线x=-1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为(x，0)，则，解得x=1，
∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=1．
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：.
7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．
【答案】c＞4
【分析】
二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，即一元二次方程x2﹣4x+c＝0的判别式小于0，从而可得关于c的不等式，解不等式即可求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，
∴令y＝0时，x2﹣4x+c＝0的判别式△＜0，即△＝16﹣4c＜0，解得c＞4．
故答案为：c＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，属于基本知识点，当对应方程的△>0时，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有一个交点，当△<0时，抛物线与x轴没有交点，熟知一元二方程的根的判别式与对应的二次函数与x轴的交点的个数的关系是解题关键.
题组B 能力提升练
1．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.
【答案】或0
【解析】
试题解析：若m=0时y=-6x+2符合题意，若m≠0，则△=36-8m=0，得m=；
所以m=0或m=时，y=mx2-6x+2的图象与x轴只有一个公共点．
2．已知函数y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．
【答案】x＜或x＞
【分析】
根据原函数经过A，B，得到对应方程的两根，根据根与系数的关系得到b=-4a，c=-12a，将不等式cx2+2bx-a＜0化为12x2+8x+1＞0，解之即可．
【详解】
解：∵函数y=ax2+2bx-c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，
∴ax2+2bx-c=0(a＞0)的两个实数根分别为x1=2，x2=6，
∴，，
∴b=-4a，c=-12a，
∴cx2+2bx-a＜0可化为-12ax2-8ax-a＜0，
又a＞0，
∴12x2+8x+1＞0，
令12x2+8x+1=0，
解得：x=或x=，
∵12＞0，
∴不等式的12x2+8x+1＞0解集为x＜或x＞．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，解题的关键是根据已知得到a，b，c的关系．
3．如图所示，二次函数的图象经过点(－1，2)，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵a＜0，＜0，
∴b＜0．
∵抛物线交y轴与正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0，故①正确．
②根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故②正确；
③∵该函数图象的开口向下，
∴a＜0；
又∵对称轴-1＜x=＜0，
∴2a-b＜0，故③正确；
④∵y=＞2，a＜0，
∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．
4．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
【答案】(1)c＜；(2)0．
【解析】分析：(1)根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
(2)根据两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，再利用完全平方公式的性质以及韦达定理，求出即可．
详解：(1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，∴1﹣4×c＞0，解得：c＜；
(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，且x1＞x2．
∵两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，故(x1﹣x2)2=4，∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4①，
∵x1+x2=﹣=﹣2②，x1•x2=2c③，∴由①②③得:(﹣2)2﹣4×(2c)=4，
解得：c=0，
即c的值为0．
点睛：本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断以及图象与坐标轴交点的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5．已知二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m为常数)
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？
【答案】(1)见解析；(2)当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．
【分析】
(1)若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可；
(2)若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值．
【详解】
(1)证明：令y＝0，则(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，即x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0，
∵△＝(2﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣2m)＝4＞0，
∴方程x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)＝x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m，
∵函数的图象关于y轴对称，
∴x＝﹣＝0，
解得m＝1，
∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴的交点个数的判定、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数图象的性质，熟练掌握图象的特征是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线.
(1)若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
(2)若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】(1)和.(2)或
【分析】
(1)求出抛物线解析式，再求与x轴交点坐标；(2)由已知可得，有，再根据，分情况分析：当时；当时，①时；②时；虑其对称轴为，应有，即，解不等式组可得.
【详解】
(1)当，时，抛物线为，方程的两个根为，.所以该抛物线与轴公共点的坐标是和.
(2)当时，抛物线为，且与轴有公共点.对于方程，判别式，有.
①当时，由方程，解得，此时抛物线为与轴只有一个公共点；
②当时，时，，时，.由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，即，解得.
综上，或.
【点睛】
考核知识点：二次函数与不等式.
2．如图，二次函数的图像与x轴相交于A(－3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)D点坐标 ；
(2)求二次函数的解析式；
(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；
(4)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】
(1)根据已知条件“二次函数的图像与x轴相交于、两点”利用抛物线的对称性得出其对称轴，进而再根据点与点是对称点求得点坐标；
(2)根据“二次函数的图像与轴相交于、两点”，可设交点式解析式，再将抛物线与轴的交点代入其中，即可求得，进而把其代入解析式即可求得答案；
(3)由(2)的结论再结合抛物线平移的规律可得到平移后的二次函数的解析式；
(4)观察图象可知，写出一次函数图象位于二次函数图象下方时所对应的自变量取值范围即可．
【详解】
解：(1)∵二次函数的图像与轴相交于、两点
∴抛物线的对称轴是：直线
∵，点、是二次函数图像上的一对对称点
∴点坐标是：．
(2)∵二次函数的图像与轴相交于、两点
∴设二次函数的解析式为：
∵抛物线与轴相交于点
∴
∴
∴二次函数的解析式为：，即．
(3)∵由(2)可知二次函数的解析式为：
∴ 将其变形为顶点式为：
∵二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位
∴平移后的解析式为：，即．
(4)∵观察图象可知，一次函数与二次函数的图象交点为：、，一次函数图象位于二次函数图象下方时自变量取值范围是
∴使一次函数值小于二次函数值的的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线的对称性、待定系数法求二次函数解析式、二次函数解析式形式的互相转化、抛物线平移规律、通过图象解不等式等，比较典型但难度不大．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D(0，)作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
(3)当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)EF长为2；(3或．
【解析】
【分析】
(1)把A(-1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3，即可求解；
(2)把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；
(3)直线EF下侧的图象符合要求．
【详解】
(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
(2)把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝或，
则EF长；
(3)由题意得：
当y≤时，直接写出x的取值范围是：或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．
4．已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m为常数，且a≠0)．
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；
(3)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)m的值为-4或3；(3)a的值是±8．
【解析】
【分析】
(1)把(x-m)看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
(2)令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根据x12+x22=25，代入得到关于m的方程，解方程即可求解；
(3)根据两点间的距离公式求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】
(1)证明：令y=0，a(x-m)2-a(x-m)=0，
△=(-a)2-4a×0=a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)解：y=0，则a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0，
解得x1=m，x2=m+1，
∵x12+x22=25，
∴m2+(m+1)2=25，
解得m1=-4，m2=3．
故m的值为-4或3；
(3)解：∵x1=m，x2=m+1，
∴AB=(m+1)-m=1，
y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2-，
△ABC的面积=×1×|-|=1，
解得a=±8．
故a的值是±8．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把(x-m)看作一个整体求解更加简便．
5．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3(k≠0)，
(1)当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
(2)当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
(3)由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】(1)(2)1(3)①②③
【解析】
【分析】
(1)由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；
(2)由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；
(3)通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．
【详解】
(1)∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣4k)2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，
解得：k1＝0，k2＝，
k≠0，
∴k＝；
(2)∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，
∴A、B点坐标为(1，0)，(3，0)，
将(1，0)代入解析式，可得k＝1，
(3)①∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点为(0，3)，①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k(x2﹣4x)+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线一定经过两个定点(0，3)和(4，3)，③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
()自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
其中，__________．
()根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．
()观察函数图象，写出一条性质__________．
()进一步探究函数图象发现：
①方程有__________个实数根．
②关于的方程有个实数根时，的取值范围是__________．
【答案】() ()见解析
()当时，随的增大而增大
()① ②．
【分析】
(1)那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
(2)利用描点法画函数图象；
(3)观察所画图象写出两条性质即可；
(4)观察图象找出图象与x轴的交点个数和函数图象与直线x=2的交点个数即可.
【详解】
(1)x=-2时，m=x2-2l-2l=0；．
()如图所示
()由函数图象知：时随的增大而增大；函数图像关于y轴对称;
()如图：
①时即，
∴令轴有个交点，分别是、、；即答案为3;
②由函数图象知：关于的方程有个交点，
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.
课程标准
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解(或称无实数根)
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
(或)
无解
△＜0
全体实数
无解
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
x2+2x﹣10
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴 ，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴 ，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象 ；
当方程组有两组相同的解时两函数图象 ；
当方程组无解时两函数图象 ．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与
的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与 就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的
就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的 即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知抛物线．求：
(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【即学即练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
(3)求y的取值范围．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例2】利用函数的图象，求方程组的解.
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例3】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【即学即练2】已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【典例4】如图，二次函数的图象与x轴交于A(﹣3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是( )
A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4
2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是( ).
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0B．x1＝3，x2＝－1
C．x＝－3D．x1＝－3，x2＝1
4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )
A.k＞ B.k≥ C. k≥且k≠0 D. k＞且k≠0
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是( )
A．b2-4ac＜0B．a+b+c＜0
C．c-a=2D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根
QUOTE 6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．
7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．
题组B 能力提升练
1．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.
2．已知函数y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．
3．如图所示，二次函数的图象经过点(－1，2)，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
4．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
5．已知二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m为常数)
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线.
(1)若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
(2)若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
2．如图，二次函数的图像与x轴相交于A(－3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)D点坐标 ；
(2)求二次函数的解析式；
(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；
(4)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D(0，)作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
(3)当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
4．已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m为常数，且a≠0)．
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；
(3)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．
5．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3(k≠0)，
(1)当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
(2)当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
(3)由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
()自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
其中，__________．
()根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．
()观察函数图象，写出一条性质__________．
()进一步探究函数图象发现：
①方程有__________个实数根．
②关于的方程有个实数根时，的取值范围是__________．
课程标准
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
△＝0
△＜0
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
△＝0
△＜0
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
x2+2x﹣10
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
第14课 用函数观点看一元二次方程
目标导航
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点诠释：
求一元二次方程的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 (△＞0)．
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知抛物线．求：
(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【答案与解析】
．
(1)当，且，即当k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点．
(2)当，且2(k+1)≠0．即当k＝-3时，抛物线与x轴有唯一交点．
(3)当b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即当k＜-3时，抛物线与x轴不相交．
【总结升华】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．
【即学即练1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
(3)求y的取值范围．
【答案】
解：(1)如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5或1；
(2)如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣5＜x＜1；
(3)∵抛物线与坐标轴分别交于点A(﹣5，0)，B(1，0)，C(0，5)，
设抛物线解析式为：y=a(x+5)(x﹣1)，
∵抛物线过点C(0，5)，
∴5=a×5×(﹣1)，
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣4x+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=﹣=﹣2时，
y最大=﹣(﹣2+5)(﹣2﹣1)=9，
∴y的取值范围为：y≤9．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例2】利用函数的图象，求方程组的解.
【答案与解析】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象，
如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，
则方程组的解为.
【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例3】如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
(1)求直线BC的解析式；
(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【思路点拨】
(1)利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，则纵坐标为(m，)，E点的坐标为(m，)，可得两点间的距离为d=，利用二次函数的最值可得m，可得点D的坐标．
【答案与解析】
解：(1)∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A(，0)，B(，0)；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为(0，)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
(2)设点D的横坐标为m，则坐标为(m，)，
∴E点的坐标为(m，m)，
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣(m2﹣3m+)，
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为(，)．
【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质及其图象与坐标轴的交点，设出D的坐标，利用二次函数最值得D点坐标是解答此题的关键．
【即学即练2】已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】
(1)依题意，得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
(2)∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴．
∵，∴是整数．
∴是完全平方数．
∵， ∴，∴取1，4，9，
．
当时，； 当时，；
当时，． ∴的值为2或或．
∴抛物线的解析式为或或．
【典例4】如图，二次函数的图象与x轴交于A(﹣3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
【答案与解析】
解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c常数)，
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
(2)如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
(3)∵对称轴：x=﹣1．∴D(﹣2，3)；
设直线BD：y=mx+n 代入B(1，0)，D(﹣2，3)：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=﹣x+1，
把x=0代入求得E(0，1)
∴OE=1，
又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知二次函数y=x2+2x﹣10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是( )
A．﹣4.1B．﹣4.2C．﹣4.3D．﹣4.4
【答案】C
【解析】
【分析】
看0在相对应的哪两个y的值之间，那么近似根就在这两个y对应的x的值之间．
【详解】
根据表格得：当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56．
∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3．
故选C．
【点睛】
本题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是根据相对应的y值判断出函数值接近于0的x的值．
2．已知函数与函数的图象大致如图。若则自变量x的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：由y1=y2，即x2=-x+3，
解得：x1=-2，x2=．
由图象可知，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是-2＜x＜．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0B．x1＝3，x2＝－1
C．x＝－3D．x1＝－3，x2＝1
【答案】D
【分析】
利用抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,根据(-3,0)找到另一个交点即可解题.
【详解】
解：由图可知,抛物线与x轴的交点关于对称轴对称,
∵对称轴为x=-1,其中一个交点为(-3,0)
∴另一个交点为(1,0),
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质,抛物线与x轴的交点,属于简单题,读图能力是解题关键.
4．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ( )
A.k＞ B.k≥ C. k≥且k≠0 D. k＞且k≠0
【答案】C.
【解析】
试题分析：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥-且k≠0．
故选C.
考点：抛物线与x轴的交点．
5．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是( )
A．b2-4ac＜0
B．a+b+c＜0
C．c-a=2
D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
试题解析：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，所以A错误；
∵顶点为D(-1，2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B正确；
∵抛物线的顶点为D(-1，2)，
∴a-b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以C正确；
∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以D正确．
故选A．
考点：二次函数图象与性质.
6．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【分析】
根据二次函数的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即求出方程ax2+bx+c＝0的另一个根.
【详解】
∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(-3，0)，对称轴为直线x=-1，
∴设抛物线与x轴的另一交点为(x，0)，则，解得x=1，
∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=1．
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：.
7．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，则c的取值范围是_____．
【答案】c＞4
【分析】
二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，即一元二次方程x2﹣4x+c＝0的判别式小于0，从而可得关于c的不等式，解不等式即可求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与x轴没有交点，
∴令y＝0时，x2﹣4x+c＝0的判别式△＜0，即△＝16﹣4c＜0，解得c＞4．
故答案为：c＞4．
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题，属于基本知识点，当对应方程的△>0时，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有一个交点，当△<0时，抛物线与x轴没有交点，熟知一元二方程的根的判别式与对应的二次函数与x轴的交点的个数的关系是解题关键.
题组B 能力提升练
1．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则m=________.
【答案】或0
【解析】
试题解析：若m=0时y=-6x+2符合题意，若m≠0，则△=36-8m=0，得m=；
所以m=0或m=时，y=mx2-6x+2的图象与x轴只有一个公共点．
2．已知函数y＝ax2+2bx﹣c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．
【答案】x＜或x＞
【分析】
根据原函数经过A，B，得到对应方程的两根，根据根与系数的关系得到b=-4a，c=-12a，将不等式cx2+2bx-a＜0化为12x2+8x+1＞0，解之即可．
【详解】
解：∵函数y=ax2+2bx-c(a＞0)的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，
∴ax2+2bx-c=0(a＞0)的两个实数根分别为x1=2，x2=6，
∴，，
∴b=-4a，c=-12a，
∴cx2+2bx-a＜0可化为-12ax2-8ax-a＜0，
又a＞0，
∴12x2+8x+1＞0，
令12x2+8x+1=0，
解得：x=或x=，
∵12＞0，
∴不等式的12x2+8x+1＞0解集为x＜或x＞．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，解题的关键是根据已知得到a，b，c的关系．
3．如图所示，二次函数的图象经过点(－1，2)，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵a＜0，＜0，
∴b＜0．
∵抛物线交y轴与正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0，故①正确．
②根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0；故②正确；
③∵该函数图象的开口向下，
∴a＜0；
又∵对称轴-1＜x=＜0，
∴2a-b＜0，故③正确；
④∵y=＞2，a＜0，
∴4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．
4．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求c的取值范围；
(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．
【答案】(1)c＜；(2)0．
【解析】分析：(1)根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
(2)根据两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，再利用完全平方公式的性质以及韦达定理，求出即可．
详解：(1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，∴1﹣4×c＞0，解得：c＜；
(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，且x1＞x2．
∵两交点间的距离为2，∴x1﹣x2=2，故(x1﹣x2)2=4，∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4①，
∵x1+x2=﹣=﹣2②，x1•x2=2c③，∴由①②③得:(﹣2)2﹣4×(2c)=4，
解得：c=0，
即c的值为0．
点睛：本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断以及图象与坐标轴交点的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5．已知二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)(m为常数)
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象关于y轴对称？
【答案】(1)见解析；(2)当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．
【分析】
(1)若证明二次函数与x轴总有两个不同的公共点，只需令y＝0，得到一元二次方程(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，计算方程的判别式b2﹣4ac＞0即可；
(2)若二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴x＝﹣＝0，计算即可得到m的值．
【详解】
(1)证明：令y＝0，则(x﹣m)2+2(x﹣m)＝0，即x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0，
∵△＝(2﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣2m)＝4＞0，
∴方程x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m＝0有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)二次函数y＝(x﹣m)2+2(x﹣m)＝x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m，
∵函数的图象关于y轴对称，
∴x＝﹣＝0，
解得m＝1，
∴当m＝1时，该函数的图象关于y轴对称．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴的交点个数的判定、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数图象的性质，熟练掌握图象的特征是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．已知抛物线.
(1)若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
(2)若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】(1)和.(2)或
【分析】
(1)求出抛物线解析式，再求与x轴交点坐标；(2)由已知可得，有，再根据，分情况分析：当时；当时，①时；②时；虑其对称轴为，应有，即，解不等式组可得.
【详解】
(1)当，时，抛物线为，方程的两个根为，.所以该抛物线与轴公共点的坐标是和.
(2)当时，抛物线为，且与轴有公共点.对于方程，判别式，有.
①当时，由方程，解得，此时抛物线为与轴只有一个公共点；
②当时，时，，时，.由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，即，解得.
综上，或.
【点睛】
考核知识点：二次函数与不等式.
2．如图，二次函数的图像与x轴相交于A(－3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C (0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)D点坐标 ；
(2)求二次函数的解析式；
(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位，直接写出平移后的解析式；
(4)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】
(1)根据已知条件“二次函数的图像与x轴相交于、两点”利用抛物线的对称性得出其对称轴，进而再根据点与点是对称点求得点坐标；
(2)根据“二次函数的图像与轴相交于、两点”，可设交点式解析式，再将抛物线与轴的交点代入其中，即可求得，进而把其代入解析式即可求得答案；
(3)由(2)的结论再结合抛物线平移的规律可得到平移后的二次函数的解析式；
(4)观察图象可知，写出一次函数图象位于二次函数图象下方时所对应的自变量取值范围即可．
【详解】
解：(1)∵二次函数的图像与轴相交于、两点
∴抛物线的对称轴是：直线
∵，点、是二次函数图像上的一对对称点
∴点坐标是：．
(2)∵二次函数的图像与轴相交于、两点
∴设二次函数的解析式为：
∵抛物线与轴相交于点
∴
∴
∴二次函数的解析式为：，即．
(3)∵由(2)可知二次函数的解析式为：
∴ 将其变形为顶点式为：
∵二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位
∴平移后的解析式为：，即．
(4)∵观察图象可知，一次函数与二次函数的图象交点为：、，一次函数图象位于二次函数图象下方时自变量取值范围是
∴使一次函数值小于二次函数值的的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线的对称性、待定系数法求二次函数解析式、二次函数解析式形式的互相转化、抛物线平移规律、通过图象解不等式等，比较典型但难度不大．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点D(0，)作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
(3)当y≤时，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)EF长为2；(3或．
【解析】
【分析】
(1)把A(-1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3，即可求解；
(2)把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；
(3)直线EF下侧的图象符合要求．
【详解】
(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3，
解得：a＝﹣1，b＝2，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
(2)把点D的y坐标y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝或，
则EF长；
(3)由题意得：
当y≤时，直接写出x的取值范围是：或，
故答案为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，利用图像解不等式及数形结合的数学思想，是一道基本题，难度不大．
4．已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a，m为常数，且a≠0)．
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=25，求m的值；
(3)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)m的值为-4或3；(3)a的值是±8．
【解析】
【分析】
(1)把(x-m)看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
(2)令y=0，利用因式分解法解方程求出x1=m，x2=m+1，根据x12+x22=25，代入得到关于m的方程，解方程即可求解；
(3)根据两点间的距离公式求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】
(1)证明：令y=0，a(x-m)2-a(x-m)=0，
△=(-a)2-4a×0=a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)解：y=0，则a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0，
解得x1=m，x2=m+1，
∵x12+x22=25，
∴m2+(m+1)2=25，
解得m1=-4，m2=3．
故m的值为-4或3；
(3)解：∵x1=m，x2=m+1，
∴AB=(m+1)-m=1，
y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2-，
△ABC的面积=×1×|-|=1，
解得a=±8．
故a的值是±8．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把(x-m)看作一个整体求解更加简便．
5．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3(k≠0)，
(1)当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
(2)当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
(3)由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】(1)(2)1(3)①②③
【解析】
【分析】
(1)由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；
(2)由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；
(3)通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．
【详解】
(1)∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣4k)2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，
解得：k1＝0，k2＝，
k≠0，
∴k＝；
(2)∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，
∴A、B点坐标为(1，0)，(3，0)，
将(1，0)代入解析式，可得k＝1，
(3)①∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点为(0，3)，①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k(x2﹣4x)+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线一定经过两个定点(0，3)和(4，3)，③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
6．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
()自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
其中，__________．
()根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．
()观察函数图象，写出一条性质__________．
()进一步探究函数图象发现：
①方程有__________个实数根．
②关于的方程有个实数根时，的取值范围是__________．
【答案】() ()见解析
()当时，随的增大而增大
()① ②．
【分析】
(1)那x=-2代入解析式，即可求得m的值；
(2)利用描点法画函数图象；
(3)观察所画图象写出两条性质即可；
(4)观察图象找出图象与x轴的交点个数和函数图象与直线x=2的交点个数即可.
【详解】
(1)x=-2时，m=x2-2l-2l=0；．
()如图所示
()由函数图象知：时随的增大而增大；函数图像关于y轴对称;
()如图：
①时即，
∴令轴有个交点，分别是、、；即答案为3;
②由函数图象知：关于的方程有个交点，
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.
课程标准
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解(或称无实数根)
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
(或)
无解
△＜0
全体实数
无解
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
x2+2x﹣10
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
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