2021年高考数学一轮复习夯基练习：复数(含答案)

夯基练习 复数

一 、选择题

1.设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3        　  B．p1，p4        　C．p2，p3        　  D．p2，p4

2.复数z1=2＋i，若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z1z2=(　　)

A．-5              B．5            C．-3＋4i            D．3-4i

3.如果复数是纯虚数，那么实数m等于(　　)

A．-1             B．0            C．0或1           D．0或-1

4.若复数z=＋1为纯虚数，则实数a=(　　)

A．-2         B．-1         C．1           D．2

5.设复数z=1＋bi(b∈R)，且z2=-3＋4i，则z的共轭复数的虚部为(　　)

A．-2           B．2i          C．2            D．-2i

6.若复数z满足z(1-i)=|1-i|＋i，则z的实部为(　　)

A.         B.-1         C．1             D.

7.若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)       B．(－∞，－1)     C．(1，＋∞)       D．(－1，＋∞)

8.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（     ）

                             （A）-1    （B）0   （C）1   （D）2

9.已知a∈R，i是虚数单位．若z=a＋ i，z·=4，则a=(　　)

A．1或－1       B.或－      C．－       D.

10.若a为实数，且(2＋ai)(a-2i)=-4i，则a=(　　)

A．-1         B．0         C．1         D．2

11. (2017全国卷1∙文)下列各式的运算结果为纯虚数的是(      )

A.i(1+i)2                                                 B.i2(1-i)                                                  C.(1+i)2                                                       D.i(1+i)

12.给出下列三个命题：

①若z∈C，则z2≥0；②2i-1的虚部是2i；③2i的实部是0.

其中真命题的个数为(　　)

A．0         B．1         C．2         D．3

二 、填空题

13.如果(m2-1)＋(m2-2m)i＞1则实数m的值为______．

14.已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

15.已知复数z1=－1＋2i，z2=1－i，z3=3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若=x＋y (x，y∈R)，则x＋y的值是________．

16.若log2(m2-3m-3)＋ilog2(m-2)为纯虚数，则实数m=________.

三 、解答题

17.已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，-2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.

18.已知z1是虚数，z2=z1＋是实数，且-1≤z2≤1.

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

(2)若ω=，求证：ω为纯虚数．

19.实数m分别取什么数值时，复数z=(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)是实数；         

(2)是虚数；

(3)是纯虚数；

(4)对应点在x轴上方；

(5)对应点在直线x＋y＋5=0上．

20.已知复数.

(1)求复数z；

(2)若z2＋az＋b=1-i，求实数a，b的值．

参考答案

1.答案为：B；

解析：设复数z=a＋bi(a，b∈R)，对于p1，

∵==∈R，∴b=0，∴z∈R，∴p1是真命题；

对于p2，∵z2=(a＋bi)2=a2-b2＋2abi∈R，∴ab=0，∴a=0或b=0，∴p2不是真命题；

对于p3，设z1=x＋yi(x，y∈R)，z2=c＋di(c，d∈R)，

则z1z2=(x＋yi)(c＋di)=cx-dy＋(dx＋cy)i∈R，

∴dx＋cy=0，取z1=1＋2i，z2=-1＋2i，z1≠2，∴p3不是真命题；

对于p4，∵z=a＋bi∈R，∴b=0，∴=a-bi=a∈R，∴p4是真命题．

2.答案为：A；

复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

则z2=-2＋i，z1z2=(2＋i)(-2＋i)=i2-4=-5，故选A.

3.答案为：D；

4.答案为：A；

5.答案为：A；

6.答案为：A；

7.答案为：B；

解析：因为z=(1－i)(a＋i)=a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a＜－1.

8.B              

9.答案为：A；

解析：由题意可知=a－i，∴z·=(a＋i)(a－i)=a2＋3=4，故a=1或－1.

10.答案为：B；

解析：∵(2＋ai)(a-2i)=-4i，∴4a＋(a2-4)i=-4i.∴解得a=0.

11.【答案】C 【解析】由为纯虚数知选C.

12.答案为：B；

对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z=i，z2= -1<0，所以①为假命题；

对于②，2i-1=-1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；

对于③，2i=0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.

二 、填空题

13.答案为：2；

解析：由题意得解得m=2.

14.答案为：-2；

解析：由==-i是实数，得-=0，所以a=-2.

15.答案为：5；

解析：由题意可得=(－1,2)，=(1，－1)，=(3，－2)，

∴由=x＋y，得

(3，－2)=(－x,2x)＋(y，－y)=(－x＋y,2x－y)．

∴∴∴x＋y=5.

16.答案为：4；

解析：因为log2(m2-3m-3)＋ilog2(m-2)为纯虚数，

所以所以m=4.

三 、解答题

17.解：设z=x＋yi，x，y∈R，如图，

因为OA∥BC，|OC|=|BA|，所以kOA=kBC，|zC|=|zB-zA|，

即解得或

因为|OA|≠|BC|，所以x=-3，y=4(舍去)，

故z=-5.

18.解：设z1=a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．

(1)z2=z1＋=a＋bi＋=＋i.

因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2=1，即|z1|=1，所以z2=2a.

由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得-≤a≤，

即z1的实部的取值范围是.

(2)ω====-i.

因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．

19.解：

(1)由m2－2m－15=0，得m=5或m=－3.即当m=5或m=－3时，z为实数．

(2)由m2－2m－15≠0，得m≠5且m≠－3，即当m≠5且m≠－3时，z为虚数．

(3)由得m=－2，即当m=－2时，z为纯虚数．

(4)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5.即当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．

(5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5=0，得m=或m=.

即当m=或m=时，z的对应点在直线x＋y＋5=0上．

20.解：

(1)z====1＋i.

(2)把z=1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b=1-i，即a＋b＋(2＋a)i=1-i，

所以解得