2021年高考数学一轮复习夯基练习：函数的奇偶性(含答案)

夯基练习 函数的奇偶性

一 、选择题

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（    ）

  A.-1       B.0         C.1         D.2

2.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是_____

A.f(x)为奇函数        B.f(x)为偶函数     C.f(x)+1为奇函数      D.f(x)+1为偶函数

3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,x≥0时,f(x)=x2-2x，则函数f(x)在R上的解析式是(   )

   A.f(x)=-x(x-2)   B.f(x)=-x(|x|-2)     C.f(x)=-|x|(x-2)    D.f(x)=|x|(|x|-2)

4.函数f(x)=3x-3-x是_____

A.增函数、奇函数        B.增函数、偶函数    C.减函数、奇函数      D.减函数、偶函数  

5.已知函数f(x)=ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a-1，2a］，则（     ）

 A.a=，b=0    B.a=－1，b=0    C.A=1，b=0     D.a=3，b=0

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为_____

A.-1          B.0             C.1               D.2

7.若f(x)是偶函数,当x＞0时,f(x)=x2﹣2x,则f(-0.5)=（     ）

   A.1.25        B.-1.25         C.0.75           D.-0.75

8.函数f(x)=－x的图象关于(　　)

A.y轴对称            B.直线y=－x对称

C.坐标原点对称       D.直线y=x对称

9.已知函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3＋bx2＋cx(       )

　　A.奇函数　　　　B.偶函数　　　C.既奇又偶函数　　　　D.非奇非偶函数

10.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)=－f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)=2x2，则f(7)=(　　)

A．－2          B．2           C．－98            D．98

11.若奇函数f(x)当1≤x≤4时的解析式是f(x)=x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最大值是(　　)

A.5         B.－5          C.－2         D.－1

12.设定义在R上的函数f(x)=|x|，则f(x)_____

A.是奇函数，在(0，+∞)上是增函数        B.是偶函数，在(0，+∞)上是增函数

C.是奇函数，在(0，+∞)上是减函数        D.是偶函数，在(0，+∞)上是减函数

二 、填空题

13.若f(x)=(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a=________．

14.函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)=＋1，则当x＜0时，f(x)=________.

15.奇函数y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(-2)，f(-3)和f(-4)的由小到大的顺序是___________.

16.已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数,f(x)的部分图像如图,那么f(x)的值域是________．

三 、解答题

(1)若g(x)=f(x)－a为奇函数，求a的值；

(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明.

18.函数f(x)的定义域为D={x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)及f(－1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明.

19.已知函数f(x)=x2＋bx＋c，且f(1)=0.

(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值；

(3)要使函数f(x)在区间[－1，3]上单调递增，求b的取值范围.

20.已知函数f(x)=-0.5x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.

参考答案

1.B

2.C解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．故选C

3.D

4.A

5.A

6.B.因为f（x+2）=-f（x），所以f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，所以f（6）=0，故选B．

7.D

8.答案为：C；

解析：∵f(－x)=－＋x=－f(x)，∴f(x)=－x是奇函数，

所以f(x)的图象关于原点对称，故选C.

9.A　

10.答案为：A；

解析：由f(x＋2)=－f(x)，得f(7)=－f(5)=f(3)=－f(1)=－2．故选A．

11.答案为：D

解析：当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，∵1≤x≤4时，f(x)=x2－4x＋5.

∴f(－x)=x2＋4x＋5，又f(x)为奇函数，∴f(－x)=－f(x).

∴f(x)=－x2－4x－5=－(x＋2)2－1.

当x=－2时，取最大值－1.

12.B

二 、填空题

13.答案为：4；

解析：

因为f(x)=(x＋a)(x－4)为偶函数，所以f(x)=f(－x)对于任意的x都成立，

即(x＋a)(x－4)=(－x＋a)(－x－4)，所以x2＋(a－4)x－4a=x2＋(4－a)x－4a，

所以a－4=4－a，即a=4．

14.答案为：＋1；

解析：∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)=＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，f(x)=f(－x)=＋1，即x＜0时，f(x)=＋1.

15.答案为：f(-3)＜f(-4)＜f(-2);

解析：奇函数在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上也单调递增，

∵-3＜-4＜-2，∴f(-3)＜f(-4)＜f(-2).

16.答案:{y|－3≤y<－2或2<y≤3}

三 、解答题

g(x)=1－a－，

∵g(x)是奇函数，∴g(－x)=－g(x)，

即1－a－=－，解得a=1.

(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数.

证明如下：

设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)

=1－－=

∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，

从而<0，即f(x1)<f(x2).

∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数.

18.解：(1)令x1=x2=1，得f(1)=f(1)＋f(1)，

所以f(1)=0，

令x1=x2=－1，得f(1)=f(－1)＋f(－1)=0，

所以f(－1)=0.

(2)令x1=x，x2=－1，得f(－x)=f(x)＋f(－1)，即f(－x)=f(x)，

故对任意的x≠0都有f(－x)=f(x).

所以f(x)是偶函数.

19.解:(1)因为函数f(x)是偶函数，所以b=0.又因为f(1)=0，所以1＋c=0，即c=－1，所以f(x)＝x2－1.

(2)结合图象(图略)得：当x＝0时，f(x)min＝－1；当x＝3时，f(x)max＝8.

(3)f(x)=x2＋bx＋c=，则y＝f(x)的图象关于x=-对称.要使函数y=f(x)在区间[-1,3]上单调递增，当且仅当-≤-1，即b≥2.所以实数b的取值范围是[2,＋∞).

20.解：假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.

而f(x)=-0.5x2+x=-0.5(x-1)2+0.5在x∈R上的最大值为0.5,∴2n≤0.5,∴n≤0.25.

而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴f(m)=2m,f(n)=2n,即-0.5m2+m=2m,-0.5n2+n=2n.结合m<n≤0.25,解得m=-2,n=0.

∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].