2021年高考数学一轮复习夯基练习：二项式定理(含答案)
展开夯基练习 二项式定理
一 、选择题
1.设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n = a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an = 254时，n等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为( )
A．16 B．10 C．4 D．2
3.若(1－x)5=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|=( )
A．0 B．1 C．32 D．－1
4.在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n=( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5. (x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为( )
A．－30 B．120 C．240 D．420
6.n的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10
7.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
8. (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为( )
A．50 B．55 C．45 D．60
9. (1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )
A．－27C B．－81C C．27C D．81C
10. (x＋y＋z)4的展开式的项数为( )
A．10 B．15 C．20 D．21
11.若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y = 1，xy<0，则x的取值范围是( )
12.若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则为( )
A. B． C．120 D．240
二 、填空题
13.9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．
14.若(x－1)5=a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5=________.
15. (1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________.
16.若n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n=________.
三 、解答题
17.若(x2－3x＋2)5 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
18.已知(a2+1)n的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.
19.已知的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项.
20.已知，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数.
参考答案
1.答案为：C；
解析：
令x = 1，则a0＋a1＋…＋an = 2＋22＋23＋…＋2n，∴ = 254，∴n = 7.
2.答案为：B.
解析：2n展开式的通项公式为Tk＋1=Cx2n－kk=C(－1)kx.令=0，
得k=，又k为正整数，所以n可取10.
3.答案为：A；
解析：由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1=C(－x)r=C(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.
则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x=1，
可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5=0.故选A.
4.答案为：C；
解析：二项式中仅x5项系数最大，其最大值必为Cn，即得=5，解得n=10.
5.答案为：B.
解析：[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为
C×23，x2y2项的系数为C×22，
∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为CC×23－CC×22=480－360=120，故选B.
6.答案为：B.
解析：因为n的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n=8，解得n=3，
所以展开式的通项为Tr＋1=C()3－rr=2rCx，令=0，则r=1，所以常数项为6.
7.答案为：C；
8.答案为：B.
解析：(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C=55.故选B.
9.答案为：A.
解析：(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1=C×17－3×(－3x)3=－27Cx3，其系数为－27C，选A.
10.答案为：B.
解析：(x＋y＋z)4=[(x＋y)＋z]4=C(x＋y)4＋C(x＋y)3z＋C(x＋y)2z2＋C(x＋y)z3＋Cz4，
运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1=15项，选B.
11.答案为：D；
解析：二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1 = C·x9－r·yr.
依题意有由此得
由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞).
12.答案为：B；
解析：由题意知，S=C＋C＋…＋C=26=64，P=C(－2)4=15×16=240，故==.故选B.
二 、填空题
13.答案为：0；
解析：二项展开式的通项Tr＋1=Cx9－rr=arCx9－2r，令9－2r=3，得r=3，所以a3C=－84，
所以a=－1，所以二项式为9，令x=1，则(1－1)9=0，所以展开式的各项系数之和为0.
14.答案为：31；
解析：令x=－1可得a0=－32.令x=0可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5=－1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5=－1－a0=－1＋32=31.
15.答案为：6x；
解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32.
所以n = 4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3 = C()2 = 6x.
16.答案为：8；
解析：n的展开式的通项Tr＋1=Cxn－rr=C2－rxn－2r，
则前三项的系数分别为1，，，由其依次成等差数列，得n=1＋，
解得n=8或n=1(舍去)，故n=8.
三 、解答题
17.解：
(1)令f(x) = (x2－3x＋2)5 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0 = f(0) = 25 = 32，a0＋a1＋a2＋…＋a10 = f(1) = 0，
故a1＋a2＋…＋a10 = －32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
= (a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10) = f(1)·f(－1) = 0.
18.解：
19.解：
20.解：∵C＋C = 2C，
整理得n2－21n＋98 = 0，
∴n = 7或n = 14，
当n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
T4的系数为C(0.5)423 = ；T5的系数为C(0.5)324 = 70；
当n = 14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C0.5)727 = 3 432.
