2021年高考数学一轮复习夯基练习：定积分与微积分基本定理(含答案)

夯基练习 定积分与微积分基本定理

一 、选择题

1.计算 dx等于(　　)

A．－2ln 2         B．2ln 2          C．－ln 2           D．ln 2

2.计算|x2- 4|dx=(　　)

A.        B.        C.        D.

3.若dx=3＋ln 2，则a的值是(　　)

A．6        B．4        C．3         D．2

4.一物体沿直线运动，其速度v(t)=t，这个物体在t=0到t=1这段时间内所走的路程为(　　)

A.          B.            C. 1         D.

5.计算(cos x＋1)dx等于(　　)

A．1        B．0        C．π＋1        D．π

6.若f(x)=x2＋2f(x)dx，则f(x)dx=(　　)

A．- 1         B．-         C.        D．1

7.定积分|x2－2x|dx=(　　)

A．5           B．6            C．7           D．8

8.定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)

A．e＋2         B．e＋1          C．e         D．e－1

9.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)

A.g         B．g          C.g         D．2g

10.已知积分(kx＋1)dx=k，则实数k=(　　)

A．2         B．- 2        C．1        D．- 1

11.已知 |56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)

A．6         B．56        C．36        D．2 016

12.函数F(x)=cos tdt的导数是(　　)

A．F′(x)=cos x           B．F′(x)=sin x

C．F′(x)=- cos x         D．F′(x)=- sin x

二 、填空题

13.设函数f(x)=(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx=0的实数a=________.

14.计算(2x－ex)dx=________.

15.曲线y=＋2x＋2e2x，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是________．

16.若(2x＋k)dx=2，则k=________.

三 、解答题

17.求由抛物线y=x2－4与直线y=－x＋2所围成图形的面积．

18.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成平面图形的面积．

19.已知f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(- 1)=2，f′(0)=0，f(x)dx=- 2，求a，b，c的值．

20.已知S1为直线x=0，y=4- t2及y=4- x2所围成图形的面积，S2为直线x=2，y=4- t2及y=4- x2所围成图形的面积(t为常数)．

(1)若t=时，求S2.

(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．

参考答案

1.答案为：D；

解析：dx=ln 4－ln 2=ln 2.

2.答案为：C；

解析：∵|x2- 4|=∴|x2- 4|dx=(x2- 4)dx＋(4- x2)dx

=＋=＋=- 3- ＋8＋8- =.

3.答案为：D；

解析：dx=(x2＋ln x)=(a2＋ln a)- (1＋ln 1)=(a2- 1)＋ln a=3＋ln 2.

∴∴a=2.

4.答案为：B；

解析：曲线v(t)=t与直线t=0，t=1，横轴围成的三角形面积S=即为这段时间内物体所走的路程．

5.答案为：D；

解析：(cos x＋1)dx=(sin x＋x) =sin π＋π- 0=π.

6.答案为：B；

解析：设f(x)dx=c，则c=(x2＋2c)dx==＋2c，解得c=- .

7.答案为：D；

解析：|x2－2x|=取F1(x)=x3－x2，F2(x)=－x3＋x2，

则F1′(x)=x2－2x，F2′(x)=－x2＋2x.

∴|x2－2x|dx= (x2－2x)dx＋ (－x2＋2x)dx=F1(0)－F1(－2)＋F2(2)－F2(0)=8.

8.答案为：C；

解析：取F(x)=x2＋ex，则F′(x)=2x＋ex， (2x＋ex)dx=F(1)－F(0)=(1＋e)－(0＋e0)=e.

9.答案为：C；

解析：取F(x)=gt2，则F′(x)=gt，所以电视塔高为gtdt=F(2)－F(1)=2g－g=g.

10.答案为：A；

解析：因为(kx＋1)dx=k，所以=k.所以k＋1=k，所以k=2.

11.答案为：A；

解析：|56x|dx=256xdx=2×x2=56a2≤2 016，故a2≤36，即0<a≤6.

12.答案为：A；

解析：F(x)=cos tdt=sin t=sin x- sin 0=sin x.所以F′(x)=cos x，故应选A.

二 、填空题

13.答案为：1；

解析： f′(x)dx=f(a)=0，得a=0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a=1.

14.答案为：5－e2；

解析：取F(x)=x2－ex，则F′(x)=2x－ex，所以(2x－ex)dx=F(2)－F(0)=5－e2.

15.答案为：e2e；

解析：由题意得，所求面积为dx.取F(x)=ln x＋x2＋e2x，

则F′(x)=＋2x＋2e2x，所以dx=F(e)－F(1)=e2e.

16.答案为：1；

解析：取F(x)=x2＋kx，则F′(x)=2x＋k，∴(2x＋k)dx=F(1)－F(0)=1＋k=2，∴k=1.

三 、解答题

17.解：由得或

所以直线y=－x＋2与抛物线y=x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，

设所求图形面积为S，根据图形可得

S= [(－x＋2)－(x2－4)]dx= (6－x－x2)dx，

取F(x)=6x－x2－x3，则F′(x)=6－x－x2，

∴S=F(2)－F(－3)=.

18.解：作出曲线xy=1，直线x=y，y=3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．

求交点坐标：由得故A；

由得或(舍去)，

故B(1,1)；由得故C(3,3)，

故所求面积S=S1＋S2=dx＋(3－x)dx=4－ln 3.

19.解：由f(- 1)=2得a- b＋c=2，　　①

又f′(x)=2ax＋b，∴f′(0)=b=0,  ②

而f(x)dx=(ax2＋bx＋c)dx==a＋b＋c，

∴a＋b＋c=- 2,  ③

由①②③式得a=6，b=0，c=- 4.

20.解：(1)当t=时，

S2= ([2- (4- x2)]dx==(- 1)．

(2)t∈(0,2)，S1=[(4- x2)- (4- t2)]dx==t3，

S2=[(4- t2)- (4- x2)]dx==- 2t2＋t3，

所以S=S1＋S2=t3- 2t2＋，S′=4t2- 4t=4t(t- 1)，

令S′=0得t=0(舍去)或t=1，

当0<t<1时，S′<0，S单调递减，

当1<t<2时，S′>0，S单调递增，

所以当t=1时，Smin=2.