2021年高考数学一轮复习夯基练习：等比数列及其前n项和(含答案)
展开夯基练习 等比数列及其前 n 项和
一 、选择题
1.等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=( )
A.16 B.32 C.64 D.128
2.已知方程(x2-mx＋2)(x2-nx＋2)=0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )
A. B.或 C. D．以上都不对
3.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=( )
A. B. C. D.
4.在等比数列{an}中，a1=1，a3=2，则a7=( )
A．－8 B．8 C．8或－8 D．16或－16
5.已知数列{an}满足3an＋1＋an=0，a2=-，则{an}的前10项和等于( )
A.-6(1-3-10) B.(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1＋3-10)
6.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n－1＋b，则=( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5=0，则=( ).
A.11 B.5 C.-8 D.-11
8.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若=3，则=( )
A．2 B． C． D．1或2
9.等差数列{an}的公差是2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=( )
A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D．
10.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=( )
A．35 B．33 C．31 D．29
11.已知数列{an}满足log3an＋1=log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6=9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－ B．－5 C．5 D.
12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1=－24，a4=－，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
二 、填空题
13.首项为3的等比数列的第n项是48，第2n-3项 是192，则n=________.
14.在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5=，a3=，= .
15.已知等比数列{an}为递增数列，且a=a10，2(an＋an＋2)=5an＋1，则数列{an}的通项公式an=________．
16.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．
三 、解答题
17.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.
18.在等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
19. (2017全国卷1∙文)记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
(1)求的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。
20.设数列{an}的各项均为正数，且a2=4a1，an＋1=a＋2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)设数列{log3(an＋1)}的前n项和为Tn，求使Tn>520成立时n的最小值．
参考答案
1.C.
2.答案为：A；
解析：不妨设是x2-mx＋2=0的根，则其另一根为4，所以m=4＋=，
对方程x2-nx＋2=0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2=2，
所以等比数列为，x1，x2，4，所以q3==8，所以q=2，
所以x1=1，x2=2，所以n=x1＋x2=1＋2=3，所以==.
3.答案为：B；
解析：由a2a4=1⇒a1=，又S3=a1(1＋q＋q2)=7，
联立得：=0，∴q=，a1=4，S5==.
4.答案为：B；
5.答案为：C；
6.答案为：A；
解析：
∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n－1＋b，
∴a1=S1=a＋b，a2=S2－S1=3a＋b－a－b=2a，a3=S3－S2=9a＋b－3a－b=6a，
∵等比数列{an}中，a=a1a3，∴(2a)2=(a＋b)×6a，解得=－3．故选A．
7.答案为：D;
8.答案为：B；
解析：
设S2=k，则S4=3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，
得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2=k，S4－S2=2k，∴S6－S4=4k，∴S6=7k，
∴==，故选B．
9.答案为：A；
10.答案为：C；
解析：设数列{an}的公比为q，∵a2·a3=a·q3=a1·a4=2a1，∴a4=2.
又∵a4＋2a7=a4＋2a4q3=2＋4q3=2×，∴q=.∴a1==16.S5==31.
11.答案为：B；
解析：由log3an＋1=log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an=1且an>0，即log3=1，
解得=3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．因为a5＋a7＋a9=(a2＋a4＋a6)q3，
所以a5＋a7＋a9=9×33=35.所以log(a5＋a7＋a9)=log35=－log335=－5.
12.答案为：C；
设等比数列{an}的公比为q，则a4=－24q3=－，所以q3=，q=，
易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，
所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2=(－24)2×=24×8=192，
T4=(－24)4×6=84×=>192，T6=(－24)6×15=86×9==×<，所以T4最大．故选C.
二 、填空题
13.答案为：5；
解析：设公比为q，则⇒⇒q2=4，
得q=±2.由(±2)n-1=16，得n=5.
14.答案为：31；
15.答案为：2n
解析：因为{an}单调递增，所以q>0，又a=a10>0，所以an>0，q>1，
由条件得2=5，即2=5，所以q=2或q=(舍)，
由a=a10得(a1q4)2=a1q9，所以a1=q=2，故an=2n.
16.答案为：3－2；
解析：设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，则2=a1＋2a2，即a3=a1＋2a2，
所以a1q2=a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2=1＋2q，解得q=1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，所以q＞0，所以q=1＋.
所以====3－2.
三 、解答题
17.证明：设{an}的公比为q，由已知得a1>0，q>0.
∵Sn＋1=a1＋qSn，Sn＋2=a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2-S=Sn(a1＋qSn＋1)-(a1＋qSn)Sn＋1=Sna1＋qSnSn＋1-a1Sn＋1-qSnSn＋1=a1(Sn-Sn＋1)=-a1an＋1<0，
∴Sn·Sn＋2<S.
根据对数函数的单调性可以得到log0.5(SnSn＋2)>log0.5S，
即log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1.
18.解：设数列{an}的公差为d，则
a3=a4-d=10-d，a6=a4＋2d=10＋2d，a10=a4＋6d=10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10=a，
即(10-d)(10＋6d)=(10＋2d)2.
整理，得10d2-10d=0.解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200；
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7，
于是S20=20a1＋d=20×7＋190=330.
19.
20.解：
(1)证明：由已知，得a2=a＋2a1=4a1，
则a1(a1－2)=0，
因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=2.
因为an＋1＋1=(an＋1)2>0，
所以log3(an＋1＋1)=2log3(an＋1)．
又log3(a1＋1)=log33=1，
所以数列{log3(1＋an)}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知，log3(1＋an)=2n－1，
所以Tn=1＋2＋22＋…＋2n－1=2n－1.
由Tn>520，得2n>521(n∈N*)，得n≥10.
则使Tn>520成立时n的最小值为10.
