2021年高考数学一轮复习夯基练习：抛物线(含答案)
展开夯基练习 抛物线
一 、选择题
1.若点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是( )
A．y2=x B．y2=x C．y2=2x D．y2=x
2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．
若=4，则|QF|等于( )
A.3.5 B．2.5 C．3 D．2
4.到定点A(2，0)与定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为( )
A．y2=8x B．y2=-8x C．x2=8y D．x2=-8y
5.设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
6.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x
7.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2=6，则|P1P2|=( )
A.5 B.6 C.8 D.10
8.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则=( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4
9.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
11.已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
12.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为( )
A． B． C．2 D．3
二 、填空题
13.已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________．
14.抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
15.已知AB是抛物线2x2=y的焦点弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标为________.
16.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________．
三 、解答题
17.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.
18.证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
19.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，-3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
20.已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，=λ，=μ，求证：＋为定值．
参考答案
1.答案为：A.
解析：根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2=4，故AB=4，
正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)代入抛物线方程得4=4p，
解得p=，故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.
2.答案为：C.
解析：由已知，得准线方程为x=－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，
所以直线AF的斜率为k==－.
3.答案为：C.
解析：因为=4，所以||=4||，所以=.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以==，所以|QQ′|=3，
根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.
4.答案为：A；
解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x轴正半轴上，故选A．
5.答案为：C；
解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可.
根据抛物线定义，|FM|=y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).
6.答案为：C；
解析：显然由准线方程x=-2，可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p=4，
所以标准方程为y2=2px=8x.
7.答案为：C；
解析：由抛物线的定义知|P1P2|=y1＋y2＋p=6＋2=8.
8.C.
9.答案为：B;
解析：由解得由题得知解得
又知＋a=4，故a=2，b=1，c==，∴焦距2c=2.
10.答案为：B；
11.答案为：C.
解析：如图，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d=|PF|，
将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2=4，圆心为C(－1，4)，半径为2，
则|PQ|＋d=|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号)．
所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，
且为|CF|－|CQ|=－2=3，故选C.
12.答案为：C；
把点A代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，
则B(－1,0)，设M，则=，=，
由=λ，得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.
二 、填空题
13.答案为：2x-y-1=0；
解析：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得作差得(y1＋y2)(y1-y2)=4(x1-x2)．
因为AB中点为P(1，1)，所以y1＋y2=2，则有2·=4，所以kAB==2，
从而直线AB的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．
14.答案为：y2=16x；
解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|=xM＋=6，即xM=6－，
又由题意可知xM=，所以=6－，解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.
15.答案为：；
解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.
由题意得|AA′|＋|BB′|=|AB|=4，|PQ|==2.
又|PQ|=y0＋，所以y0＋=2，解得y0=.
16.答案为：；
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，由抛物线的定义知，
点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，
此时最小值为|AF|==.
三 、解答题
17.解：
法一：设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，
则焦点F(，0)，由题设可得
解得或
故所求的抛物线方程为y2=8x，m的值为±2.
法二：设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，焦点F(，0)，准线方程x=－，
根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，则3＋=5，∴p=4.
因此抛物线方程为y2=8x.
又点M(3，m)在抛物线上，于是m2=24，
∴m=±2.
18.证明：如图，设抛物线方程y2=2px(p＞0)，准线为l，AB为抛物线的焦点弦，点P为AB的中点，
∴P为以AB为直径的圆的圆心，
AM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M，N，Q.
则|AB|=|AF|＋|BF|=|AM|＋|BN|=2|PQ|，
即|PQ|=|AB|，
所以以AB为直径的圆必与准线相切.
即得证.
19.解：法一：设所求抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，
则焦点坐标为F.
∵M(m，-3)在抛物线上，且|MF|=5，
故解得
∴抛物线方程为x2=-8y，m=±2，
准线方程为y=2.
法二：如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，
则焦点F，准线l：y=，
又|MF|=5，由定义知3＋=5，∴p=4.
∴抛物线方程为x2=-8y，准线方程为y=2.
由m2=(-8)×(-3)，得m=±2.
20.解：
(1)因为抛物线y2=2px过点(1，2)，
所以2p=4，即p=2．
故抛物线C的方程为y2=4x，
由题意知，直线l的斜率存在且不为0．
设直线l的方程为y=kx＋1(k≠0)．
由得k2x2＋(2k-4)x＋1=0．
依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1．
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，-2)．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知x1＋x2=-，x1x2=．直线PA的方程为y-2=(x-1)．
令x=0，得点M的纵坐标为yM=＋2=＋2．
同理得点N的纵坐标为yN=＋2．
由=λ，=μ得λ=1-yM，μ=1-yN．
所以＋=＋=＋=·=·=2．
所以＋为定值．
