2021年高考数学一轮复习夯基练习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理(含答案)
展开夯基练习 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一 、选择题
1. (a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
2.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为( )
A.20 B.25 C.32 D.60
3.从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )
A.13种 B.16种 C.24种 D.48种
4.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A.96 B.84 C.60 D.48
5.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为( )
A.18 B.24 C.60 D.48
6.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( )
A.18 B.10 C.16 D.14
7.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16 C.13 D.10
8.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
9.5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( )
A.480 B.240 C.120 D.96
10.若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是( )
A.2 B.6 C.9 D.8
11.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )
A.10个 B.14个 C.15个 D.21个
12.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By=0的系数A、B的值，则形成的不同直线有( )
A.18条 B.20条 C.25条 D.10条
二 、填空题
13.一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法 种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法 种.
14.圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为 .
15.如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种.
16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则种植A，B的不同方法有________种.(用数字作答)
三 、解答题
17.设椭圆的方程为＋=1(a>b>0)，a∈{1,2,3,4,5,6,7}，b∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有多少个？
18.高二一班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生为代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？
19.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞赛中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的选择？
20.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
参考答案
1.答案为：B；
解析：每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3=12.
2.答案为：C；
解析：后五位数字由6或8组成,可分5步,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理知,符合题意的电话号码的个数为25=32.
3.A.
[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2=13(种).故选A.
4.B.
解析：A有4种选择，B有3种选择，若C与A相同，则D有3种选择，若C与A不同，则C有2种选择，D也有2种选择，所以共有4×3×(3＋2×2)=84种.
5.A.
[解析] 根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人，担任剩余的工作，有3×2×1=6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6=18种分工方案，故选A.
6.答案为：B；
解析：第三、四象限内点的纵坐标为负值,分2种情况讨论.
①取M中的数作横坐标,取N中的数作纵坐标,有3×2=6个不同点;
②取N中的数作横坐标,取M中的数作纵坐标,有4×1=4个不同点.
综上,共有6+4=10个不同点.
7.答案为：C；
解析：分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；
第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面.
故可以确定8＋5=13个不同的平面.
8.B.
解析：由题意知，首位数字只能是4,5.
若首位数字是5，则末位数字可从0,2,4中取1个，有3种方法.
其余各位数字有4×3×2=24种；
由分步乘法计数原理知首位为5时，满足条件的数字个数为3×24=72.
若首位数字为4，则有2×4×3×2=48个.
依分类加法计数原理知满足条件的数字有72＋48=120个.选B.
9.B.
解析：先把5本书中的两本捆起来，再分成4份即可，∴分法种数为CA=240.
10.C.
解析：求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3=9个不同的值.
11.答案为：A；
解析：当b=1时，c=4；当b=2时，c=4,5；当b=3时，c=4,5,6；当b=4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.选A.
12.A.
解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A=1，B=2时与A=2，B=4时是相同的方程；当A=2，B=1时与A=4，B=2时是相同的方程，故共有5×4－2=18条.
二 、填空题
13.答案为：9，20；
[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4=9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4=20种.
14.答案为：2n(n－1)；
[解析]先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成以该点为直角顶点的n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形.
15.答案为：180；
解析：按区域分四步:第一步,A区域有5种颜色可选;第二步,B区域有4种颜色可选;第三步,
C区域有3种颜色可选;第四步,D区域有3种颜色可选.由分步乘法计数原理知,
共有5×4×3×3=180种不同的涂色方法.
16.答案为：12；
解析：按从左往右把各垄田地依次列为1,2,3，…，10.分两步：
第一步，先选垄，有1,8；1,9；1,10；2,9；2,10；3,10.共6种选法；
第二步，种植A，B两种作物，有2种选法.
因此，由分步乘法计数原理，
不同的选垄种植方法有6×2=12(种).
三 、解答题
17.解：依题意按a，b的取值分为6类，
第一类：a=2，b=1；
第二类：a=3，b=1, 2；
第三类：a=4，b=1,2,3；
第四类：a=5，b=1,2,3,4；
第五类：a=6，b=1,2,3,4,5；
第六类：a=7，b=1,2,3,4,5.
由分类加法计数原理得：这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5=20个.
18.解：男生有38人，女生有18人，根据本题题意，需分两步：
第一步：从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；
第二步：从女生18人中任选1人，有18种不同的选法.
只有上述两步都完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名作代表这件事，根据分步乘法计数原理共有38×18=684种选取代表的方法.
19.解：分两类情况：
(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴有30×29×20=17 400种结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11 400种结果.
因此共有不同结果17 400＋11 400=28 800种.
20.解：分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种.
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种.
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种.
故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋2C·C·A=432.
