2021年高考数学一轮复习夯基练习：等差数列及其前n项和(含答案)

夯基练习 等差数列及其前 n 项和

一 、选择题

1.若等差数列{an}中，已知a1=，a2＋a5=4，an=35，则n=(　　)

A．50         B．51         C．52          D．53

2.在等差数列{an}中，an<0，a32＋a82＋2a3·a8=9，那么S10等于(　　).

A.－9          B.－11            C.－13         D.－15

3.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3a4，且S9=λa4，则λ的值为(　　)

A．18          B．20            C．21          D．25

4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为(　　)

A．－3          B．0           C．3                D．6

5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则为(　　)

A.        B.        C.        D.

6.如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有(　　)

A．a1＋a8<a4＋a5

B．a1＋a8=a4＋a5

C．a1＋a8>a4＋a5

D．a1a8=a4a5

7.已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于(      )

A.           B.          C.－        D.－

8.在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=(　　)

A．-1         B．0         C．1          D．6

9.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于(          )

A.5              B.6               C.7                   D.8

10.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1＋am＋1-a=0，S2m-1=38，则m=(　　)

A．38           B．20          C．10           D．9

11.若方程(x2-2x＋m)(x2-2x＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=(　　)

A．1         B.         C.         D.

12.已知等差数列{an}中，a1=11，a5=－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)

A．15            B．20          C．26            D．30

二 、填空题

13.在数列{an}中，a1=2,2an＋1=2an＋1(n∈N*)，则a101的值为________．

14.已知数列{an}的通项公式为an=2n-30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10=________．

15.已知{}是等差数列，且a4=6，a6=4，则a10=____________.

16.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1，S5=10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．

三 、解答题

17.在等差数列{an}中，a3＋a1=8，且a=a2a9，求{an}的首项、公差及前n项和.

18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12＞0，S13＜0.

(1)求公差d的范围；

(2)问前几项的和最大，并说明理由．

19.在等差数列{an}中，已知d=2，an=11，Sn=35，求a1和n.

20.已知数列{an}，an∈N*，Sn是其前n项和，Sn=(an＋2)2.

(1)求证{an}是等差数列；

(2)设bn=an-30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

参考答案

1.答案为：D；

解析：依题意，a2＋a5=a1＋d＋a1＋4d=4，将a1=代入，得d=.

所以an=a1＋(n-1)d=＋(n-1)×=n-，令an=35，解得n=53.

2.答案为：D；解析：∵(a3＋a8)2=9，an<0，∴a3＋a8=－3.∴S10=－15.

3.答案为：A

解析：

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由a6=3a4，得a1＋5d=3(a1＋3d)，

所以a1=－2d．由S9=λa4，得9a1＋36d=λ(a1＋3d)，代入a1=－2d，得λ=18．故选A．

4.答案为：B；

解析：由S3=3a2=3，得a2=1，又a1=3，则公差d=－2，

故S4=a1＋a2＋a3＋a4=3＋1＋(－1)＋(－3)=0，故选B．

5.答案为：A；

解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，

因为S3=1，S6－S3=3－1=2，所以S9－S6=3，S12－S9=4.

所以S12=S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)=1＋2＋3＋4=10.所以=.

6.答案为：B；

解析：由等差数列的性质有a1＋a8=a4＋a5，故选B.

7.答案为：B；

解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1=d=－1，b2=－2，故知=.

8.答案为：B；

解析：由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0，选B.

9.答案为：C；

解析：由S3=S11及首项为正可知，d＜0，故知Sn=na1＋d=n2＋(a1-)n，

是一个开口向下的抛物线，S3=S11告诉我们，抛物线的对称轴n=，

故知数列的前n项和最大时的n等于7.

10.答案为：C；

解析：由等差数列的性质，得am-1＋am＋1=2am，∴2am=a.由题意得am≠0，∴am=2.

又S2m-1===2(2m-1)=38，∴m=10.

11.答案为：C；

解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4=a2＋a3=2，

再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d=2，

因为a1=，所以d=，所以a2=＋=，a3=＋1=，a4=＋=，

所以|m-n|=|a1a4-a2a3|==.

12.答案为：C；

设数列{an}的公差为d，则d==－3，所以an=a1＋(n－1)d=－3n＋14，

由⇒解得≤n≤，即n=4，所以{an}的前4项和最大，

且S4=4×11＋×(－3)=26，故选C.

二 、填空题

13.答案为：52；

14.答案为：190；

解析：an=2n-30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数，

所以S10=-(a1＋a2＋a3＋…＋a10)=-(a1＋a10)=-5[(-28)＋(-10)]=190.

15.2.4；

解析：

16.答案为：4或5；

解析：由解得所以a5=a1＋4d=0，

所以S4=S5同时最大．所以n=4或5.

三 、解答题

17.解：设{an}的公差为d，前n项和为Sn，则2(a1+d)=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).

⇒a1+d=4,d(d-3a1)=0⇒a1=4,d=0或a1=1,d=3∴Sn=4n或.

18.解：(1)因为a3=12，所以a1=12－2d，

因为S12＞0，S13＜0，

所以即

所以－＜d＜－3.

(2)因为S12＞0，S13＜0，

所以所以

所以a6＞0，又由(1)知d＜0.

所以数列前6项为正，从第7项起为负．

所以数列前6项和最大．

19.解：，得解得:n=5,a1=3或n=7,a1=-1.

20.解：(1)证明：当n=1时，a1=S1=(a1＋2)2，解得a1=2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an＋2)2-(an-1＋2)2，

即8an=(an＋2)2-(an-1＋2)2，

整理得，(an-2)2-(an-1＋2)2=0，

即(an＋an-1)(an-an-1-4)=0.

∵an∈N*，∴an＋an-1>0，∴an-an-1-4=0，

即an-an-1=4(n≥2)．

故{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．

(2)设{bn}的前n项和为Tn，

∵bn=an-30，且由(1)知an=2＋(n-1)×4=4n-2，

∴bn=(4n-2)-30=2n-31，

故数列{bn}是单调递增的等差数列．

令2n-31=0，得n=15，

∵n∈N*，∴当n≤15时，bn<0；

当n≥16时，bn>0，即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…，

当n=15时，Tn取得最小值，最小值为T15=×15=-225.