2021年九年级中考数学模拟试卷八（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷
一、选择题
1．2015的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运动考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×104 C．0.3×105 D．30×104
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5 D．a3÷a2=1
4．下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
5．若a、b为实数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么下列正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
6．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
8．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（　　）

A．（22014，22014） B．（22015，22015） C．（22014，22015） D．（22015，22014）
二、填空题
11．在函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
12．分解因式：a2﹣4b2=　　　　　　．
13．一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是　　　　　　．
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为　　　　　　．
15．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　　　　　　时，y随x的增大而减小．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=　　　　　　
三、解答题
17．计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．





18．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．



19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．





20．解分式方程： +=1．




21．为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：

根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被调查的学生共　　　　　　人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为　　　　　　度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有　　　人．
22．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．









23．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．













24．某物流公 司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？







25．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．






26．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

　















参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）
1．2015的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2015的相反数是：﹣2015，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
　
2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运动考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×104 C．0.3×105 D．30×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：300000=3×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5 D．a3÷a2=1
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算法则分别计算得出即可．
【解答】解：A、a2a3=a5，正确；
B、a2+a3无法计算，故此选项错误；
C、（a3）2=a6，故此选项错误；
D、a3÷a2=a，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
　
4．下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
【考点】随机事件．
【分析】必然事件是指一定会发生的事件．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；
B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；
C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；
D、抛出的篮球会下落是必然事件．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．
　
5．若a、b为实数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么下列正确的是（　　）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
【考点】绝对值．
【分析】根据题意取a=2，b=﹣3，求出a+b=﹣1，再比较即可．
【解答】解：∵|b|＞|a|，且a＞0，b＜0，
∴取a=2，b=﹣3，
∴a+b=﹣1，
故选A．
【点评】本题有理数的大小比较的应用，采取了取特殊值法．
　
6．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
　
7．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
　
8．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把点（a，b）代入反比例函数y=求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点（a，b）反比例函数y=上，
∴b=，即ab=2，
∴原式=2﹣4=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
　
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
　
10．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（　　）

A．（22014，22014） B．（22015，22015） C．（22014，22015） D．（22015，22014）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2015的坐标．
【解答】解：∵OA1=1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B2015的坐标是（22014，22014）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是　x≥4　．
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≥0，解得x≥4，
则自变量x的取值范围是x≥4．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
　
12．分解因式：a2﹣4b2=　（a+2b）（a﹣2b）　．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
　
13．一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是　120　．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，进行求解即可．
【解答】解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为120，这组数据的中位数为120，故答案为120．
【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．
　
14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值为　27　．
【考点】根与系数的关系．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，
故答案为：27．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
　
15．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　≤2　时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x=2，
当x≤2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x≥2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．
　
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=　3　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题．
【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴△OAD的面积=△OCE的面积，
∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，
∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，
∴k=3；
故答案为：3．

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．
　
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17．计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】先根据绝对值，零指数幂，二次根式的性质求出每一部分的值，再代入求出即可．
【解答】解：原式=3﹣1+5
=7．
【点评】本题考查了绝对值，零指数幂，二次根式的性质的应用，能求出每一部分的值是解此题的关键，难度适中．
　
18．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，
当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
　
20．解分式方程： +=1．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x2﹣4，
解得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
21．为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：

根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次被调查的学生共　40　人；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为　72　度；
（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有　300　人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据条形图可知喜欢“社科类”的有5人，根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；
（2）根据条形图可知喜欢“文学类”的有12人，即可补全条形统计图；
（3）计算出喜欢“艺术类”的人数，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（4）用该年级的总人数乘以“文史类”的学生所占比例，即可求出喜欢的学生人数．
【解答】解：（1）5÷12.5%=40（人）
答：此次被调查的学生共40人；
（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）

（3）8÷40=20%
360°×20%=72°
答：扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72度；
（4）1200×=300（人）
答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
22．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，
故小颖获胜的概率为： =，则小丽获胜的概率为：，
∵＜，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
　
23．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；
（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．
【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，
根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；
（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，
∴c=1﹣2b，
∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，
∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．
【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．
　
24．某物流公 司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；
（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，
依题意得：，
解之得：．
答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．
（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，
依题意得：a≤（330﹣a）×2，
解得：a≤220，
设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，
根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大
当W取最大值时a=220，
即W=19800元．
所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
　
25．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
　
26．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；
（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；
（3）过D作x轴的垂线交BC于点P，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．
【解答】方法一：
（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴==，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，
令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴H（﹣4，0），G（12，0），
①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DH=DG=8，
故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；

②当PD不垂直于x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8．
∵PD⊥DQ，
∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，
∴Rt△PDN∽Rt△DQI，
∵PN=8，
∴PN≠DI，
∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，
∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．

方法二：
（1）略．
（2），设OE=3a，OD=4a，
∴DE=CE=5a，∴OE=AB=8a，
由（1）知：，
∴AD=6a，
∴OA=BC=10a，
∵BE=5，
∴（5a）2+（10a）2=（5）2，
∴a=1，
∴E（0，3），∴y=﹣，
∴D（4，0），∵B（10，8），
∴F（10，），
∵M为BE的中点，∴M（5，），
∴KBD×KMF==﹣1，
∴MF⊥BD．

（3）设P（t，8）（0＜t＜10），
∵D（4，0），
∵PD⊥DQ，PD=PQ，
∴△PDQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
①点Q可视为点P绕点D顺时针旋转90°而成，
将D点平移至原点，D′（0，0），则P′（t﹣4，8），
将P′点绕原点顺时针旋转90°，则Q′（8，4﹣t），
将D′点平移至D点，则Q′平移后即为Q（12，4﹣t），
把Q（12，4﹣t）代入抛物线，
∴﹣=4﹣t，
∴t=4，
∴Q（12，0）；
②点Q可视为点P绕点D逆时针旋转90°而成，同理可得：Q（﹣4，0），
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．