2021年九年级中考数学模拟试卷三（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷

一．选择题

1．sin60°=（　　）

A． B． C．1 D．

2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x≥2 C．x≠0 D．x≠2

3．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）

A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104

4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

5．如图所示，是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）

  A． B． C． D．

6．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC：B′C′=AC：A′C′，若AC=3，A′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（　　）

A．2：3 B．3：2 C．3：5 D．5：3

7．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．以上都不是

8．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3） 都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

9．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（　　）

A．1 B． C．3 D．

10．已知如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　）

A．：1 B．1： C．：1 D．1：

二、填空题

11．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式　   　．

12．点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为　   　．

13．在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是　   　．

14．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=　   　．

15．DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是　   　．

16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　   　米．

17．一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，CD的长　   　．

18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1=　   　．

三、解答题：

19．（1）计算 （π﹣2009）0++|﹣2|+；

（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值．

20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．

（1）求证：△ACD∽△CBD；

（2）求∠ACB的大小．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，﹣2）．

（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标．

22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．

23．已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都过A（m，1）点．

求：（1）正比例函数的解析式；

（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．

24．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=5，AC=5，求AE的长．

25．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　   　名学生；

（2）将图①补充完整；

（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？

26．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

27．如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．

（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；

（2）求出点D的坐标；

（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？

28．如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接AB，在线段DC上是否存在一点F，使△ADF与△BCF相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．sin60°=（　　）

A． B． C．1 D．

【解答】解：sin60°=，

故选D

2．在函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x≥2 C．x≠0 D．x≠2

【解答】解：根据题意得：x﹣2≠0；

解得x≠2，

故选D．

3．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）

A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104

【解答】解：100800=1.008×105．

故故选C．

4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，

B、不是轴对称图形，

C、不是轴对称图形，

D、是轴对称图形，

故选：D．

5．如图所示，是由5个相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：此几何体的左视图是“日”字形．

故选：D．

6．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC：B′C′=AC：A′C′，若AC=3，A′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（　　）

A．2：3 B．3：2 C．3：5 D．5：3

【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴△A′B′C′与△ABC的相似比=A′C′：AC=1.8：3=3：5．

故选C．

7．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．以上都不是

【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，

∴k﹣1＜0，

即k＜1．

故选：A．

8．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3） 都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

【解答】解：∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3） 都在反比例函数y=的图象上，

∴y1=﹣2，y2=﹣4，y3=，

∵﹣4＜﹣2＜，

∴y2＜y1＜y3．

故选D．

9．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（　　）

A．1 B． C．3 D．

【解答】解：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD+∠B=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵cos∠ACD=，

∴cos∠B=，

∴tan∠B=，

∵BC=4，

∴tan∠B=，

∴=，

∴AC=．

故选：D．

10．已知如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　）

A．：1 B．1： C．：1 D．1：

【解答】解：∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=AB=cm，

∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，

∴=，

即=，

整理得，a2=2b2，

解得a=b，

所以，a：b=：1．

故选A．

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二、填空题（每题4分，共32分，把答案写在答题卡中的横线上）

11．已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式　y=（x＞0），答案不唯一　．

【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一．

故答案为：y=（x＞0），答案不唯一．

12．点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为　y=　．

【解答】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，

∴P点坐标为（﹣2，4），

将（﹣2，4）解析式y=得，

k=xy=﹣2×4=﹣8，

∴函数解析式为y=﹣．

故答案为：y=﹣．

13．在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是　75°　．

【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，

∴∠A=60°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．

14．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=　　．

【解答】解：∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC==12，

∴tan∠ADC=tanB===，

故答案为．

15．DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是　　．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC，DE边上的高等于△ABC的边BC上的高的一半，

∴△ADE与△ABC的面积之比是．

故答案为：．

16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是　8　米．

【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，

∴∠APB=∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP=∠CDP=90°，

∴△ABP∽△CDP，

∴=，

∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，

∴=，

CD=8米，

故答案为：8．

17．一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，CD的长　12﹣4　．

【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，

∴BC=AC=12，

∵AB∥CF，

∴BM=BC×sin45°=12×=12，

CM=BM=12，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，

∴∠EDF=60°，

∴MD=BM÷tan60°=4，

∴CD=CM﹣MD=12﹣4，

故答案为：12﹣4．

18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1=　（n+1）2　．

【解答】解：∵x1=1，

x2═3=1+2，

x3=6=1+2+3，

x4═10=1+2+3+4，

x5═15=1+2+3+4+5，

…

∴xn=1+2+3+…+n=，xn+1=，

则xn+xn+1=+=（n+1）2，

故答案为：（n+1）2．

三、解答题：（本大题共10小题，共88分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

19．（10分）（1）计算 （π﹣2009）0++|﹣2|+；

（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+（）﹣1的值．

【解答】解：（1）原式=1+2+2﹣+2=5+；

（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）=，

∴α=45°，

则原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．

20．（10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．

（1）求证：△ACD∽△CBD；

（2）求∠ACB的大小．

【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵=．

∴△ACD∽△CBD；

（2）解：∵△ACD∽△CBD，

∴∠A=∠BCD，

在△ACD中，∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

即∠ACB=90°．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标系分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，﹣2）．

（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，

C1点坐标为（﹣6，4）；

（2）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标为；（2a，2b）．

22．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．

【解答】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴tanA===，

∴AD=4，

∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．

在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，

∴BC==10，

∴sinB==，cosB==，

∴sinB+cosB=+=．

故答案为：

23．（6分）已知正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象都过A（m，1）点．

求：（1）正比例函数的解析式；

（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．

【解答】解：

（1）把x=m，y=1代入

∴A（3，1）

把x=3，y=1代入y=kx得

3k=1，k=

∴y=x

（2）解方程组解得，

故另一交点的坐标为（﹣3，﹣1）．

24．（6分）如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=5，AC=5，求AE的长．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴，即=，

∴AE=．

25．（10分）2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查中，共调查了　200　名学生；

（2）将图①补充完整；

（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？

【解答】解：（1）50÷25%=200（名）；

（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）=30（人）．；

（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）=54°；

（4）80000×（25%+60%）=68000（人）．

26．（10分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形．

∴CE=AB=12m．

在Rt△CBE中，cot∠CBE=，

∴BE=CE•cot30°=12×=12．

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=12．

∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

27．（8分）如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．

（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；

（2）求出点D的坐标；

（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？

【解答】解：（1）∵y1=x+m与过点C（﹣1，2），

∴m=3，k=﹣2，

∴y1=x+3，；

（2）由题意，解得：，或，

∴D点坐标为（﹣2，1）；

（3）由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．

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28．（12分）如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．

（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）连接AB，在线段DC上是否存在一点F，使△ADF与△BCF相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，

∴6m=n①，

∵DC=5，

∴n﹣m=5②，

联立①②解得，m=1，n=6

∴A（1，6），B（6，1），

设反比例函数解析式为y=，

将A（1，6）代入得：k=6，

则反比例解析式为y=；

（2）存在，

如图，设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，

∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∴∠ADE=∠BCE=90°，

连接AE，BE，

则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE

=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC

=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1

=﹣x=5，

解得：x=5，

则E（5，0）．

（3）如图1，

设点F的坐标为（m，0）（1＜m＜6），

∵A（1，6），B（6，1），

∴AD=6，BC=1，DF=m﹣1，CF=6﹣m，

∵△ADF与△BCF相似，且∠ADF=∠BCF，

∴①△ADF∽△BCF，

∴，

∴，

∴m=，

∴F（，0）

②△ADF∽△FCB，

∴，

∴，

∴m=3或m=4，

∴F（3，0）或（4，0），

即：点F的坐标F（，0）或（3，0）或（4，0）．