2021年九年级中考数学模拟试卷四（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷

一、选择题．

1．﹣5的相反数是（　　）

A．5 B． C．﹣5 D．

2．下面的计算正确的是（　　）

A．a3+a3=a6 B．（a3）2=a5 C．a2+a2=2a2 D．6a÷a=5a

3．光的速度约为30万公里每秒，30万用科学记数法表示为（　　）

A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108

4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）

A． B． C． D．

5．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°

6．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

7．下列命题中，真命题是（　　）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

8．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

9．小明用一枚均匀的硬币进行试验，连续抛三次，结果都是正面朝上的概率是（　　）

A． B． C． D．

10．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．二次函数y=x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（　　）

A．无交点 B．（0，﹣1） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）

12．（4分）对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（　　）

A．0 B．1 C．3 D．5

二、填空题．

13．数据3、3、4、5、5的方差是　   　．

14．圆锥底面圆的半径为2，侧面展开图的半径为5，则侧面展开图的圆心角是　   　．

15．分解因式：mx2﹣2mx+m=　   　．

16．方程组的解是　   　．

三、解答题．

17．计算：4cos45°+（π+2013）0﹣+（）﹣1．

18．画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）．

已知：　   　

求作：　   　．

19．已知y﹣3与x成正比例，并且当x=2时，y=7；

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，y的值？

20．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

21．下表是李刚一学期数学成绩记录，根据信息回答下面的问题：

（1）李刚6次成绩的极差是　   　；中位数是　   　．

（2）如果用如图的权重给李刚打分，他应该得多少分？

22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．

23．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4，小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．

（1）请你列出所有可能的结果；

（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．

24．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果保留根号）

25．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．

（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

26．已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．

（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题．（每小题4分，共12题，）

1．﹣5的相反数是（　　）

A．5 B． C．﹣5 D．

【解答】解：﹣5的相反数是5．

故选A．

2．下面的计算正确的是（　　）

A．a3+a3=a6 B．（a3）2=a5 C．a2+a2=2a2 D．6a÷a=5a

【解答】解：A、原式=2a3，错误；

B、原式=a6，错误；

C、原式=2a2，正确；

D、原式=6，错误．

故选C．

3．光的速度约为30万公里每秒，30万用科学记数法表示为（　　）

A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108

【解答】解：将30万用科学记数法表示为3×105．

故选A．

4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱；

故选C．

5．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°

【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，

∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，

故选：A．

6．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【解答】解：连结OA，OD⊥AB，如图，

∴AD=BD，OD=3cm，

在Rt△AOD中，OA=5cm，OD=3cm，

∴AD==4cm，

∴AB=2AD=8cm．

故选C．

7．（4分）下列命题中，真命题是（　　）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

【解答】解：A．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；

B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；

C．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；

D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；

故选：D．

8．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由x+1≥2，解得x≥2，

故选：C．

9．小明用一枚均匀的硬币进行试验，连续抛三次，结果都是正面朝上的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：画树状图得：

∵共有8种等可能出现的结果，结果都是正面朝上的只有1种情况，

∴连续抛三次，结果都是正面朝上的概率是：．

故选D．

10．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

①平行四边形；②正方形；③等腰梯形；④菱形；⑤正六边形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本小题错误；

②正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；

③等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；

④菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；

⑤正六边形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确．

综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有②④⑤共3个．

故选C．

11．二次函数y=x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（　　）

A．无交点 B．（0，﹣1） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）

【解答】解：把x=0代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

所以函数y=x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．

故选D．

12．对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（　　）

A．0 B．1 C．3 D．5

【解答】解：∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，

而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，

∴5!、…、10!的末尾数都是0，

∴1!+2! +3!+…+10!的末尾数为3．

故选C．

二、填空题．（共4题，每题4分）

13．数据3、3、4、5、5的方差是　0.8　．

【解答】解：数据3、3、4、5、5的平均数是：（3+3+4+5+5）÷5=4，

则方差= [（3﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2] =0.8；

故答案为：0.8．

14．圆锥底面圆的半径为2，侧面展开图的半径为5，则侧面展开图的圆心角是　144°　．

【解答】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，

根据题意得2π•2=，

解得n=144．

故答案为：144°．

15．分解因式：mx2﹣2mx+m=　m（x﹣1）2　．

【解答】解：mx2﹣2mx+m=m（x2﹣2x+1）=m（x﹣1）2．

故答案为：m（x﹣1）2．

16．方程组的解是　　．

【解答】解：，

∵①+②得：4x=12，

解得：x=3，

把x=3代入①得：3+2y=1，

解得：y=﹣1，

∴方程组的解是：，

故答案为：．

三、解答题．（共10题，共86分）

17．（6分）计算：4cos45°+（π+2013）0﹣+（）﹣1．

【解答】解：原式=4×+1﹣2+6

=2+1﹣2+6

=7．

18．（6分）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）．

已知：　线段a，线段h．　

求作：　等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h．　．

【解答】解：△ABC就是所求的等腰△ABC．

19．（8分）已知y﹣3与x成正比例，并且当x=2时，y=7；

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，y的值？

【解答】解：（1）∵y﹣3与x成正比例，

∴设y﹣3=kx，

∴y=kx+3，

∵当x=2时，y=7，

∴7=2k+3，解得k=2，

∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3；

（2）把x=4代入y=2x+3得y=2×4+3=11．

20．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC

∴∠1=∠3

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CD=CE；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，

又∵CD=CE，BE=CE，

∴AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA．

∵∠B=80°，

∴∠BAE=50°，

∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．

21．（8分）下表是李刚一学期数学成绩记录，根据信息回答下面的问题：

（1）李刚6次成绩的极差是　10分　；中位数是　90分　．

（2）如果用如图的权重给李刚打分，他应该得多少分？

【解答】解：（1）最大值是96分，最小是86分，因而极差是96﹣86=10分；

中位数是：（90+90）÷2=90分．

故答案是：10分；90分；

（2）平时成绩的平均数为：（88+86+90+92）÷4=89分，

则89×10%+90×30%+96×60%=93.5分．

李刚的总评分应该是93.5分．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．

【解答】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，

∴AC=2，S△ABC=×4×4=8，

∵三条弧所对的圆心角的和为180°，

三个扇形的面积和==2π，

∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π．

23．（10分）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4，小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．

（1）请你列出所有可能的结果；

（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．

【解答】解：（1）根据题意画树形图如下：

由以上可知共有12种可能结果分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；

（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种，

所以P（两个数字之积是奇数）=．

　[来源:]

24．（10分）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果保留根号）

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D点．

∵探测线与地面的夹角为30°和60°，

∴∠CAD=30°∠CBD=60°，

根据三角形的外角定理，得∠BCA=∠CBD﹣∠CAD=30°，

即∠BCA=∠CAD=30°，

∴BC=AB=3米，

在Rt△BDC中，CD=BC•sin60°=3×=米．

答：生命所在点C的深度约为米．

25．（10分）设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．

（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．

【解答】解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3分）

又n为非零的自然数，

∴an是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）

说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）

n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分）

说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．

26．（12分）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．

（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2），

∴tan∠OAB==，

∴∠OAB=60°，

当点A′在线段AB上时，

∵∠OAB=60°，TA=TA′，

∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AA′，

∴TP=（10﹣t）sin60°=（10﹣t），A′P=AP=AT=（10﹣t），

∴S=S△ATP=A′P•TP=（10﹣t）2，

当A´与B重合时，AT=AB==4，

所以此时6≤t＜10；

（2）当点A′在线段AB的延长线上，且点P在线段AB（不与B重合）上时，

纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点），

假设点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0），由（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0），

则当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6；

（3）S存在最大值．

①当6≤t＜10时，S=（10﹣t）2，

在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

∴当t=6时，S的值最大是2；

②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积S=S△A′TP﹣S△A′EB，

∵△A′EB的高是A′B•sin60°，

∴S=（10﹣t）2﹣（10﹣t﹣4）2×+（﹣4）2×=（﹣t2+2t+30）=﹣（t﹣2）2+4，

当t=2时，S的值最大是4；

③当0＜t≤2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上是（如图②，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点），

∵∠EFT=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，

∴EF=ET=AB=4，

∴S=EF•OC=×4×2=4．

综上所述，S的最大值是4，此时t的值是t=2．