2021年九年级中考数学模拟试卷九（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷
一、选择题
1．与最接近的整数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．5
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≠1 C．x＞1 D．全体实数
3．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）（﹣a）3=﹣a4 B．（2a3）3=6a9
C．（3a﹣2）（2+3a）=9a2﹣4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
4．下列事件是必然事件的是（　　）
A．四边形的内角和为180° B．内错角相等
C．对顶角相等 D．矩形的对角线平分一组对角
5．如图，将一个边长为a cm的正方形纸片剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），余下的部分沿虚线剪开拼成一个矩形（无重叠无缝隙），则矩形的面积是（　　）

A．1 B．a C．2a﹣1 D．2a+1
6．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
7．一个四棱柱的俯视图如图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法正确的是（　　）

A．极差是15
B．中位数是6.5
C．众数是20
D．平均每日锻炼超过1小时的人占总数的一半
9．材料1：从三张不同卡片中选出两张后排成一列，有6种不同的排列：抽象成数学问题就是：从3个不同的元素中任取2个元素的排列，其排列数记为：A32=3×2=6，
一般地Anm=n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）（m、n为正整数，且m≤n）
材料2：从三张不同卡片中选取两张，有3种不同的选法：抽象成数学问题就是：从3个不同的元素中选取2个元素的组合，其组合数为C32==3，
一般地Cnm=（m、n为正整数，且m≤n）
由以上材料，你可以知道：从7个人中选取4人，排成一列，共有（　　）种不同的排法．
A．35 B．350 C．840 D．2520
10．如图，已知⊙O的半径为R，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC=96°，∠BOD=36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是（　　）

A．2R B． R C． R D．R
二、填空题
11．计算：2﹣|﹣3|=　　．
12．去年武汉大学樱花盛开时节，10万游客涌入，3天门票收入近60万元，60万用科学记数法表示为　　．
13．如图所示：从甲地去乙地有A1、A2、A3三条线路，从乙地去丙地有B1、B2二条线段，你任意选一条从甲地到丙地的线路，恰好经过B1线路的概率是　　（不考虑线路的长短）．

14．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=　　度．

15．如图所示，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D．若AB=8，AC=6，则AD的长是　　．

16．如图所示，已知直线l：y=2kx+2﹣4k（k为实数），直线l与x轴正半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则△AOB面积的最小值是　　．

三、解答题
17．解方程：．








18．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．




19．A、B、C三名同学竞选学生会主席，他们的笔试和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图：

A
B
C
笔试
85
95
90
口试

80
85

（1）请将表和图中的空缺部分补充完整；
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算每人的得票数；
（3）若每票计1分，学校将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．






20．已知反比例函数y1=与一次函数y2=mx+n的图象都经过A（1，﹣3），且当x=﹣3时，两个函数的函数值相等
（1）求m、n的值；
（2）结合函数图象，写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．



21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O与△ABC的三边分别切于点D，E，F．
（1）连接AO、BO，求∠AOB的度数；
（2）连接BD，若tan∠DBC=，求tan∠ABD的值．











22．某商品现在售价为每件60元，进价为每件40元，每星期可卖出300件；市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售的数量为y件，求y与x函数关系；
（2）设每星期的利润为W元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润；
（3）为了使每周利润不少于6000元，求售价的范围．








23．△ABC是边长为6的等边三角形，D、E是AB、BC上的动点，且BE=DC，连AD、EC交于点M．
（1）求证：△AME∽△ABD；
（2）连DE，若BD=2DC，求证：①DE⊥AB；②连BM，求BM的长；
（3）当D、E在△ABC的边BC、AB上运动时，直接写出△AMC的面积的最大值．









24．已知如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM=∠ACO，求的值；
（3）如图，在（2）的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由．




　
参考答案与试题解析
一、选择题
1．与最接近的整数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．5
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估计的近似值，然后判断与最接近的整数即可求解．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2．
故选B
　
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≠1 C．x＞1 D．全体实数
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分式有意义时，分母不等于零，据此解答．
【解答】解：依题意得：1﹣x≠0，
解得x≠1．
故选：B．
　
3．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）（﹣a）3=﹣a4 B．（2a3）3=6a9
C．（3a﹣2）（2+3a）=9a2﹣4 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】整式的混合运算．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=（﹣a）4=a4，错误；
B、原式=8a9，错误；
C、原式=9a2﹣4，正确；
D、原式=a2﹣2ab+b2，错误，
故选C
　
4．下列事件是必然事件的是（　　）
A．四边形的内角和为180° B．内错角相等
C．对顶角相等 D．矩形的对角线平分一组对角
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：四边形的内角和为180°是不可能事件；
内错角相等是随机事件；
对顶角相等是必然事件；
矩形的对角线平分一组对角是随机事件，
故选：C．
　
5．如图，将一个边长为a cm的正方形纸片剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），余下的部分沿虚线剪开拼成一个矩形（无重叠无缝隙），则矩形的面积是（　　）

A．1 B．a C．2a﹣1 D．2a+1
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】根据大正方形面积减去小正方形面积求出所求矩形面积即可．
【解答】解：根据题意得：a2﹣（a﹣1）2=a2﹣a2+2a﹣1=2a﹣1，
故选C
　
6．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】旋转的性质．
【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选B．

　
7．一个四棱柱的俯视图如图所示，则这个四棱柱的主视图和左视图可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．
【分析】由俯视图想象几何体的前面、左侧面的形状即可得．
【解答】解：由该四棱柱的俯视图可知其主视图为一个矩形，左视图是一个矩形内部加两条纵向的虚线，
故选：B．
　
8．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法正确的是（　　）

A．极差是15
B．中位数是6.5
C．众数是20
D．平均每日锻炼超过1小时的人占总数的一半
【考点】条形统计图；中位数；众数；极差．
【分析】根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数和极差，由图可知锻炼时间超过7小时的有5人．即可判断四个选项的正确与否．
【解答】解：A、这组数据的最大数是8，最小数是5，则其极差为3，故此选项错误；
B、由条形图可知该组数据共7+18+20+5=50个数，其中位数为=6.5，故此选项正确；
C、这组数据中出现次数最多的是7，则其众数的为7，故此选项错误；
D、平均每日锻炼超过1小时即每周锻炼超过7小时的人数为5，占总人数的，故此选项错误；
故选：B．
　
9．材料1：从三张不同卡片中选出两张后排成一列，有6种不同的排列：抽象成数学问题就是：从3个不同的元素中任取2个元素的排列，其排列数记为：A32=3×2=6，一般地Anm=n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）（m、n为正整数，且m≤n）
材料2：从三张不同卡片中选取两张，有3种不同的选法：抽象成数学问题就是：从3个不同的元素中选取2个元素的组合，其组合数为C32==3，一般地Cnm=（m、n为正整数，且m≤n）
由以上材料，你可以知道：从7个人中选取4人，排成一列，共有（　　）种不同的排法．
A．35 B．350 C．840 D．2520
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据题中阅读材料中的方法求出不同的排法即可．
【解答】解：根据题意得： ==35，
故选A．
　
10．如图，已知⊙O的半径为R，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC=96°，∠BOD=36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是（　　）

A．2R B． R C． R D．R
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．
【解答】解：作点C关于AB的对称点C′，连接DC′，
根据题意以及垂径定理，
得弧C′D的度数是120°，
则∠C′OD=120度．
作OE⊥C′D于E，
则∠DOE=60°，则
DE=R，
C′D=R．
故选B．

　
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：2﹣|﹣3|=　﹣1　．
【考点】有理数的减法；绝对值．
【分析】原式利用绝对值的代数意义变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣3=﹣1，
故答案为：﹣1
　
12．去年武汉大学樱花盛开时节，10万游客涌入，3天门票收入近60万元，60万用科学记数法表示为　6×105　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将60万用科学记数法表示为：6×105．
故答案为：6×105．
　
13．如图所示：从甲地去乙地有A1、A2、A3三条线路，从乙地去丙地有B1、B2二条线段，你任意选一条从甲地到丙地的线路，恰好经过B1线路的概率是　　（不考虑线路的长短）．

【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得恰好经过B1线路的概率．
【解答】解：由题意可得，

∴恰好经过B1线路的概率是：，
故答案为：．
　
14．如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=　133　度．

【考点】平行线的性质．
【分析】两直线平行，同位角、内错角相等，据此即可解答．
【解答】解：过点B作BD∥l1，则BD∥l2，
∴∠ABD=∠AOF=90°，∠1=∠EBD=43°，
∴∠2=∠ABD+∠EBD=133°．
故答案为：133．

　
15．如图所示，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D．若AB=8，AC=6，则AD的长是　　．

【考点】等边三角形的性质；解分式方程；平行线的性质；解直角三角形．
【分析】过点C作CM⊥AD于点M，延长CM交AB于点E，过点E作EF∥AD交BC于点F，则△ACE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AM、BE的长度，设DM=x，则EF=2x，再根据平行线的性质即可得出，代入数据解分式方程即可得出x值，将其代入AD=AM+DM中即可求出AD的长度．
【解答】解：过点C作CM⊥AD于点M，延长CM交AB于点E，过点E作EF∥AD交BC于点F，如图所示．
∵∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D，AB=8，AC=6，
∴△ACE为等边三角形，BE=AB﹣AC=2，
∴AM=AC=3．
设DM=x，则EF=2x，
∵EF∥AD，
∴，即，
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解，
∴AD=AM+DM=．
故答案为：．

　
16．如图所示，已知直线l：y=2kx+2﹣4k（k为实数），直线l与x轴正半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则△AOB面积的最小值是　8　．

【考点】一次函数的性质．
【分析】可用k分别表示出A、B两点的坐标，则可得到OA、OB的长，可用k表示出△AOB的面积，再利用基本不等式可求得答案．
【解答】解：
在y=2kx+2﹣4k中，
令y=0可得，0=2kx+2﹣4k，解得x=，
令x=0可得，y=2﹣4k，
∴A（，0），B（0，2﹣4k），
∴OA=，OB=2﹣4k，
∴S△AOB=OA•OB=××（2﹣4k）=﹣=﹣=﹣4k﹣+4，
∵k＜0，
∴﹣4k＞0，﹣＞0，且﹣4k×（﹣）=4，
∴﹣4k﹣≥2=4，
∴﹣4k﹣+4≥8，即S△AOB≥8，
即△AOB面积的最小值是8，
故答案为：8．
　
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：．
【考点】解一元一次方程．
【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
【解答】解：去分母得：3（3x﹣1）﹣12=2（5x﹣7）
去括号得：9x﹣3﹣12=10x﹣14
移项得：9x﹣10x=﹣14+15
合并得：﹣x=1
系数化为1得：x=﹣1．
　
18．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由两角和夹边即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE=AD，进而可得出结论BD=CE．
【解答】证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE=AD，
∵BD=AB﹣AD，CE=AC﹣AE，
∴BD=CE．
　
19．A、B、C三名同学竞选学生会主席，他们的笔试和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图：

A
B
C
笔试
85
95
90
口试

80
85

（1）请将表和图中的空缺部分补充完整；
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算每人的得票数；
（3）若每票计1分，学校将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【考点】加权平均数．
【分析】（1）根据条形统计图找出A的口试成绩，填写表格即可；找出C的笔试成绩，补全条形统计图即可；
（2）由300分别乘以扇形统计图中各学生的百分数即可得到各自的得分，再根据加权平均数的计算方法计算可得．（2）A的得票为300×35%=105（张），B的得票为300×40%=120（张），C的得票为：300×25%=75（张）；
（3）分别通过加权平均数的计算方法计算A的成绩，B的成绩，C的成绩，综合三人的得分，则B应当选．
【解答】解：（1）由条形统计图得：A同学的口试成绩为90；补充直方图，如图所示：


A
B
C
笔试
85
95
90
口试
90
80
85
（2）三名同学得票情况是，A：300×35%=105；B：300×40%=120；C：300×25%=75，
（3）∵==93， ==96.5， ==83.5，
∵＞＞，
∴B学生能当选．
　
20．已知反比例函数y1=与一次函数y2=mx+n的图象都经过A（1，﹣3），且当x=﹣3时，两个函数的函数值相等
（1）求m、n的值；
（2）结合函数图象，写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A（1，﹣3）代入y1=求出k，再将A（1，﹣3），B（﹣3，1）代入y2=mx+n即可解决问题．
（2）根据函数图象当y1＞y2时，反比例函数的图象在直线的图象上方，写出自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y1=的图象都经过A（1，﹣3），
∴k=﹣3，
∴y1=﹣，
又∵当x=﹣3时，两个函数的函数值相等
∴经过点B（﹣3，1），
∵一次函数y2=mx+n的图象都经过A（1，﹣3），B（﹣3，1），
∴解得．
（2）由图象可知当y1＞y2时，﹣3＜x＜0或x＞1．

　
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O与△ABC的三边分别切于点D，E，F．
（1）连接AO、BO，求∠AOB的度数；
（2）连接BD，若tan∠DBC=，求tan∠ABD的值．

【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】（1）如图1，连接DO、EO、FO，利用切线的定义和性质可得∠DOE=90°，AF=AD，BF=BE，易得△ADO≌△AFO，由全等三角形的性质可得∠AOF=∠AOD，∠BOF=∠BOE，易得；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，如图2，由tan∠DBC=，可知，设DC=1，则BC=4，可得CE=CD=1，BF=BE=3，设AD=AF=x，易得AC、AB，由勾股定理可得x，由△ADM∽△ABC，利用相似三角形的性质可得，易得AM，DM，BM，由tan∠ADB=可得结果．
【解答】解：（1）如图1，连接DO、EO、FO，
∵AC、BC、AB均为⊙O的切线，
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，∠∠ODC=90°，∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DOE=90°，
在△ADO与△AFO中，
，
∴△ADO≌△AFO，
∴∠AOF=∠AOD，
同理可得，∠BOF=∠BOE，
∴=135°；

（2）过点D作DM⊥AB于点M，如图2，
∵tan，
∴设DC=1，则BC=4，
∴CE=CD=1，BF=BE=3，
设AD=AF=x，则AC=1+x，AB=3+x，
在Rt△ABC中，（x+1）2+42=（x+3）2，
解得：x=2，
∵△ADM∽△ABC，
∴，
∴，
∴AM=，DM=，∴=，
∴tan∠ABD==．

　
22．某商品现在的售价为每件60元，进价为每件40元，每星期可卖出300件；市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售的数量为y件，求y与x的函数关系；
（2）设每星期的利润为W元，问如何确定销售价格才能达到最大周利润；
（3）为了使每周利润不少于6000元，求售价的范围．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出y与x的函数关系．
（2）设每星期所获利润为W，根据一星期利润等于每件的利润×销售量得到W与x的关系式；把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案；
（3）分别根据60≤x≤90、40≤x≤60两种情况，求出每周利润不少于6000元时x的范围即可得．
【解答】解：（1）根据题意得：涨价时，y=300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），
降价时，y=300+20（60﹣x）（40≤x≤60），
整理得：y=；

（2）当涨价时，W=（x﹣40）（﹣10x+900）
=﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），
当x=65时，y的最大值是6250，
当降价时，W=（60﹣x）（﹣20x+1500）
=﹣20（x﹣57.5）2+6125 （40≤x≤60），
所以定价为：x=57.5（元）时利润最大，最大值为6125元．
综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元；

（3）当60≤x≤90时，﹣10（x﹣65）2+6250=6000，
解得：x=60或x=70，
∴60≤x≤70；
当40≤x≤60时，﹣20（x﹣57.5）2+6125=6000，
解得：x=55或x=60，
∴55≤x≤60，
综上，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是55≤x≤70．
　
23．△ABC是边长为6的等边三角形，D、E是AB、BC上的动点，且BE=DC，连AD、EC交于点M．
（1）求证：△AME∽△ABD；
（2）连DE，若BD=2DC，求证：①DE⊥AB；②连BM，求BM的长；
（3）当D、E在△ABC的边BC、AB上运动时，直接写出△AMC的面积的最大值．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB=BC，∠ABD=∠C=60°，可得△ABD≌△BCE；推出∠BAD=∠CBE，再通过三角形外角性质即可求出∠AME的度数，即可得出结论．
（2）①过点C作CF⊥AB于F，判断出△BDE∽△BCF，即可得出结论，
②先利用勾股定理求出AD，AM，再用相似得出比例式求出MN，AN最后用勾股定理即可得出BM．
（3）先判断出△ACM面积最大时，点M的位置，最后用圆的性质即可求出结论．
【解答】解：：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．∠BAD=∠CBE，
∴∠AME=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°=∠B
∵∠EAM=∠DAB，
∴△AME∽△ABD，
（2）如图1，过点C作CF⊥AB，
∴∠BFC=90°
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB=BC=6，BF=AB=3，
∵BD=2DC，
∴CD=2，BD=4
∴BE=CD=2，
∵，，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCF，
∴∠BED=∠BFC=90°，
∴DE⊥AB，
如图2，
过点A作AH⊥BC，
∴BH=BC=3，
∴DH=BD﹣BH=1，AH=3，
根据勾股定理得，AD==2，
由（1）知，△AME∽△ABD，
∴，
∴，
∴AM=
在Rt△BDE中，DE==2，
过点M作MN⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE∥MN，
∴=
∴，
∴MN=，AN=
∴BN=AB﹣AN=
在Rt△BMN中，BM==．
（3）如图3，

由（1）可知∠AME=∠B=60°，
∴∠AMC=120°，点M的轨迹是一段弧，它所对的弦AC对的圆心角120°，
∴△AMC的AC边上的高为M到AC的距离，最大距离即为弓形的高IG，
在Rt△AOI中，AI=3，∠AOI=∠AOC=60°，
∴OA=2，OI=，
∴IG=，
∴S△AMC最大=×AC×IG=×6×=3．


　
24．已知如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM=∠ACO，求的值；
（3）如图，在（2）的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，利用方程组即可解决问题．
（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．设P（0，m），求出直线PM、PB，再利用方程组求出点E、F坐标，求出直线EF的解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴有方程组，解得，
∴b=﹣2，c=﹣3．

（2）∵抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点C坐标（0，﹣3），OA=1，OB=3，OC=3，
∵点D与点C关于点O对称
∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠2+∠4=45°，
取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，
∴△POR≌△BPO≌△CAO，
∴∠1=∠2=∠α，PQ=PB，
∵∠6+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，
∴∠5=90°，∵PQ=PB，
∴∠3+∠4=45°，∵∠2+∠4=45°，
∴∠DBQ=∠3=∠2=∠α=∠ACO，
∴由此BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，
∵B（3，0），Q（1，4），设直线BQ为y=kx+n，则，解得，
∴直线BN的解析式为y=﹣2x+6，
∴N（0，6），
由解得或，
∵B（3，0），∴M（﹣3，12），
作MG⊥y轴于G，
∵N（0，6），M（﹣3，12），B（3，0），
∴MG=OB=3，NO=NG=6，
∴Rt△MNG≌△Rt△BNO，
∴MN=NB
∴=1．

（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．
理由：设P（0，m），
∵M（﹣3，12），B（3，0），
∴可得直线PM的解析式为y=x+m，直线PB的解析式为y=﹣x+m，
由消去y得3x2+（6﹣m）x﹣3（m+3）=0，
[3x﹣（m+3）]（x+3）=0，
∴x=﹣3或，
x=﹣3时，y=12，
x=时，y=，
∴方程组的解为或，
∴E（，），
由解得或，
∴F（﹣，），
设直线EF解析式为y=ax+t，
则，
∴=﹣，
∴a=﹣2，
∴直线EF的解析式为y=﹣2x+t，
∵直线BM的解析式为y=﹣2x+6，
∴t≠6时，EF∥MB，
t=6时，直线EF与BM重合．