2021年九年级中考数学模拟试卷十二（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷
一、选择题
1．8的立方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
2．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．a4+a4=a8 B．a8÷a2=a4 C．a3•a2=a5 D．（﹣2a2）3=﹣6a6
3．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．要把分式方程化为整式方程，方程两边可同时乘以（　　）
A．2x+4 B．x C．x+2 D．x（x+2）
5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是（　　）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2（x+2）2﹣2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x+2）2+2
7．一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（　　）

A．37 B．35 C．33.8 D．32
8．已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
9．下列因式分解错误的是（　　）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2 C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
10．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=（　　）

A．3 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣6
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④2a+b=0．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）

A．6 B．5 C．3 D．3
二、填空题
13．比较大小：﹣2　　　　　　﹣3．
14．使在实数范围内有意义的x应满足的条件是　　　　　　．
15．方程x2﹣1=0的解为　　　　　　．
16．中国航母辽宁舰的满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为　　　　吨．
17．圆心角为30°，半径为6的扇形的弧长为　　　　　　．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC，若OD=1，则BC的长为　　　　　　．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是　　　　　　．

20．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　　　　　　．

三、解答题
21．计算：|4|+（）﹣1﹣（﹣1）0﹣cos45°．





22．先化简，再求值：（ +）÷，其中a=﹣3，b=2．











23．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）在△ABC中，BC=　　　　　，tanB=　　　　　；
（2）请在方格中画出一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，并且△DEF与△ABC相似比为2．



24．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？（结果保留根号）













25．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．

　


26．在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
11
10
6
15
9
16
13
12
0
8
2
8
10
17
6
13
7
5
7
3
12
10
7
11
3
6
8
14
15
12
（1）求样本数据中为A级的频率；
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．






27．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？





28．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．












29．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


　
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共计36分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填入题后的括号内）
1．8的立方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．2
【考点】立方根．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵2的立方等于8，
∴8的立方根等于2．
故选：A．
　
2．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．a4+a4=a8 B．a8÷a2=a4 C．a3•a2=a5 D．（﹣2a2）3=﹣6a6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据积的乘方，可判断D．
【解答】解：A a4+a4=2a4，故A错误；
B a8÷a2=a6，故B错误；
C a3•a2=a5，故C正确；
D （﹣2a2）3=﹣8a6，故D错误；
故选：C．
　
3．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据左视图是从左面看到的图判定则可．
【解答】解：左面看去得到的正方形从左往右依次是2，1．
故选B．
　
4．要把分式方程化为整式方程，方程两边可同时乘以（　　）
A．2x+4 B．x C．x+2 D．x（x+2）
【考点】解分式方程．
【分析】本题考查解分式方程去分母的能力，即根据各分母寻找公分母．
【解答】解：由两个分母（x+2）和x可得最简公分母为x（x+2），
所以方程两边应同时乘以x（x+2），
故选D．
　
5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：第一个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
第二个图形，∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
第三个图形，此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
第四个图形，∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：B．
　
6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2分别向上、向右平移2个单位，则新抛物线的解析式是（　　）
A．y=2（x﹣2）2+2 B．y=2（x+2）2﹣2 C．y=2（x﹣2）2﹣2 D．y=2（x+2）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），分别向上、向右平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（2，2）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣2）2+2，
故选A．
　
7．一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（　　）

A．37 B．35 C．33.8 D．32
【考点】中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28，32，35，37，37，
位于最中间的数是35，
∴这组数的中位数是35．
故选B．
　
8．已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【考点】圆与圆的位置关系．
【分析】用两圆的圆心距和半径之和或半径之差比较即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：∵大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，
∴5﹣3＜7＜5+3，
故两圆相交，
故选C．
　
9．下列因式分解错误的是（　　）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2 C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；
故选：D．
　
10．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=（　　）

A．3 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=3，求出k的值．
【解答】解：依题意，有|k|=3，
∴k=±3，
又∵图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=﹣3．
故选C．
　
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；④2a+b=0．其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=1及x=﹣1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c＜0，错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴原点，c=0，对称轴为x=＜0，a、b同号，即b＜0，因此abc=0，错误；
④∵对称轴为x==﹣1，得2a﹣b=0，错误；
故选A．
　
12．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）

A．6 B．5 C．3 D．3
【考点】圆内接四边形的性质；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵AB是⊙C的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长==3．
故选：C．
　
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分.请把答案写在题中的横线上）
13．比较大小：﹣2　＞　﹣3．
【考点】有理数大小比较．
【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较．两负数比大小，绝对值大的反而小；或者直接想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．
【解答】解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．
故答案为：＞．
　
14．使在实数范围内有意义的x应满足的条件是　x＞1　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
　
15．方程x2﹣1=0的解为　x1=1，x2=﹣1　．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣1=0，
（x+1）（x﹣1）=0，
x﹣1=0，x+1=0，
x1=1，x2=﹣1，
故答案为：x1=1，x2=﹣1．
　
16．中国航母辽宁舰的满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为　6.75×104　吨．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故答案为：6.75×104．
　
17．圆心角为30°，半径为6的扇形的弧长为　π　．
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长的公式l=，代入直接求解即可．
【解答】解：根据弧长的公式l=，得l=π．
　
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC，若OD=1，则BC的长为　2　．

【考点】三角形中位线定理；圆的认识．
【分析】首先证明OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：∵OD∥BC，且O是AB的中点．
∴OD是△ABC的中位线．
∴BC=2OD=2．
故答案是：2．
　
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是　8﹣2π　．

【考点】扇形面积的计算．
【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=•4•4=8，然后代入即可得到答案．
【解答】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，
∴AC=2，S△ABC=•4•4=8，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
三个扇形的面积和==2π，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π．
故答案为8﹣2π．
　
20．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．

【考点】二次函数的图象．
【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
　
三、解答题（本大题共5小题，满分44分.简答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．计算：|4|+（）﹣1﹣（﹣1）0﹣cos45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=4+2﹣1﹣2×
=4+2﹣1﹣2
=3．
　
22．先化简，再求值：（ +）÷，其中a=﹣3，b=2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分母因式分解后约分得到原式=，然后把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式=•
=，
当a=﹣3，b=2时，原式==﹣．
　
23．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是一个格点三角形．
（1）在△ABC中，BC=　5　，tanB=　　；
（2）请在方格中画出一个格点三角形DEF，使△DEF∽△ABC，并且△DEF与△ABC的相似比为2．

【考点】作图—相似变换；解直角三角形．
【分析】（1）利用网格和勾股定理可求出BC=5，再利用解直角三角形中的角边关系可得tanB=
（2）相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大到原来的2倍，得到新三角形．它的位似三角形有两个．
【解答】解：（1）BC==5；
由图可得∠B的正切，
即tanB=．

（2）作图如右图．

　
24．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先在直角三角形BCD中求得CD的长，然后在直角三角形ACD中求得AC的长即可．
【解答】解：如图：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
∵在直角三角形BCD中，BC=12×1.5=18海里，∠CBD=45°，
∴CD=BC•sin45°=18×=9海里，
∴在直角三角形ACD中，AC=CD÷sin30°=9×2=18海里，
故我渔政船航行了18海里．

　
25．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由题意，根据对称性得到B的横坐标为1，确定出C的坐标，根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式．
【解答】解：（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A（﹣1，a）、B两点，
∴B点横坐标为1，即C（1，0），
∵△AOC的面积为1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入y=mx，y=可得m=﹣2，n=﹣2；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）
∴，
解得k=﹣1，b=1，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．

　
四、解答题（本大题共4小题，满分46分.简答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26．在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
11
10
6
15
9
16
13
12
0
8
2
8
10
17
6
13
7
5
7
3
12
10
7
11
3
6
8
14
15
12
（1）求样本数据中为A级的频率；
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数与频率．
【分析】（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，即可求得样本数据中为A级的频率；
（2）根据题意得：1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为：1000×=500；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，
∴样本数据中为A级的频率为： =；

（2）1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为：1000×=500；

（3）C级的有：0，2，3，3四人，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的有2种情况，
∴抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为： =．
　
27．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．
（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．
【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意，得1500（1+x）2=2160．
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．
答：2007年该企业盈利1800万元．

（2）2160（1+0.2）=2592．
答：预计2009年该企业盈利2592万元．
　
28．已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．

【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；
（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点．

（2）解：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA=，
∵cosB=，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA=，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE=．

　
29．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标．
（2）根据B、C、D的坐标，可求得△BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），可知c=﹣3，
即抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣3，
把A（﹣1，0）、B（3，0）代入，
得
解得a=1，b=﹣2．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，
理由如下：
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC2=18，
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD2=2，
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=20，
∴BC2+CD2=BD2，故△BCD为直角三角形．

（3）连接AC，则容易得出△COA∽△CAP，又△PCA∽△BCD，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为．
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）．