2021年九年级中考数学模拟试卷二（含答案）

2021年九年级中考数学模拟试卷
一、选择题
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．在以下图形中，即是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．2a+3b=5ab C．a8÷a2=a6 D．（a2b）2=a4b
4．如图，直线a∥b，若∠1=55°，∠2=60°，则∠3等于（　　）

A．85° B．95° C．105° D．115°
5．下列说法中正确的是（　　）
A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量
B．为了审核书稿中的错别字，应该选择抽样调查
C．一组数据3、x、4、5、8的平均数为5，则这组数据的中位数是5
D．A组数据方差SA2=0.03，B组数据方差SB2=0.2，则B组数据比A组数据稳定
6．如图，AB是⊙O的弦，过点A作⊙O的切线，交BO的延长线于点C．若∠B=28°，则∠C的度数是（　　）

A．28° B．34° C．44° D．56°
7．已知x﹣2y=﹣3，那么代数式2x﹣4y+3的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9


8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
9．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）

A．67 B．92 C．113 D．121
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b=2a C．a+c＞b D．4a+2b+c＞0
11．如图，在A处观察C处的仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=80米，斜坡AB的坡度i=1：2，索道BC的坡度i=2：3，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，则索道BC的长大约是（　　）（参考数据：tan31°≈0.6；cos31°≈0.9；≈3.6）．

A．140 B．144 C．150 D．154
12．若数a使关于x的不等式组的解为x＜2，且使关于x的分式方程+=﹣4有正整数解，则满足条件的a的值之和为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
二、填空题
13．据相关数据统计，大多数动植物细胞的直径在20微米到30微米之间，已知某动物细胞直径为25微米，即为0.000025米，请将0.000025用科学记数法表示为　 　．
14．（4分）计算：（﹣1）2017+﹣（﹣）﹣2+cos60°=　 　．
15．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数﹣3，﹣2，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩余小球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率是　 　．
17．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离A地的距离是　 　千米．

18．在正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE=2，FG⊥AE交DC于G，将GF绕着G点逆时针旋转使得F点正好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG交AB于N点，交AE于M点，则S△MNF=　 　．

三、解答题
19．如图，AB=CD，AE=CF，E、F是BD上两点，且BF=DE．
求证：△ABE≌△CDF．





20．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，记者小刘随机调查了某区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）若该区共有中学生8000人，请根据以上图表信息估算出该区中学生中对“校园手机”持“无所谓”态度的人数是多少？






21．化简下列各式：
（1）4（a+b）2﹣2（a+b）（2a﹣2b） （2）（m+2）÷（m﹣1+）﹣．
　




22．）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于二象限内的A点和四象限内的B点，与x轴将于点C，连接AO，已知AO=2，tan∠AOC=，点B的坐标为（a，﹣4）．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．












23．某品牌洗衣机销售情况良好，据了解，去年5月份该洗衣机售价为2900元，当月销出615台，据了解，每涨价100元，销量就减少5台．
（1）若该商场要想该品牌洗衣机月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？
（2）据悉，6月份该商场便购进该品牌洗衣机600台，并按（1）问的最高售价销售，结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年7月份该品牌洗衣机的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%．重百电器为了促进销量，8月份决定对该品牌洗衣机实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该品牌洗衣机销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．





24．如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是　 　，最大的亲密数是　 　；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．









25．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，E为△ABC外一点，CE⊥FE，CE=FE，连接AE、BF，点M为AE中点，点N为BF中点．
（1）若BC=4，FC=2，∠ECA=30°，求S△ACE．
（2）求证：MN⊥AE．

　




26．如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+的图象与x轴从左到右交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点D为抛物线上一点，横坐标为﹣1．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线上位于线段AC上方的一动点（不与C重合），连接CE，作点D关于直线CE的对称点D′，当点D′落在线段AC上的时候，在线段CE上方的抛物线上再找一个点G，连接EG、CG得△ECG，求△ECG面积的最大值和此时点G的横坐标；
（3）如图2，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿线段AO匀速运动，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角△RPQ；同时，动点H以每秒个单位的速度，从点C出发，沿线段CA匀速运动，过点H作HM⊥x轴交抛物线于点M，以HM为斜边向左作等腰直角△NHM；设运动时间为t（秒），当△PRQ的一条边所在直线与△NHM的中位线重合时，求t的值．

　
参考答案
一、选择题
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【解答】解：∵﹣2×=1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
　
2．在以下图形中，即是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：C．
　
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．2a+3b=5ab C．a8÷a2=a6 D．（a2b）2=a4b
【解答】解：A、a2•a3=a5，本选项错误；
B、2a+3b不能合并，本选项错误；
C、a8÷a2=a6，本选项正确；
D、（a2b）2=a4b2，本选项错误．
故选：C．
　
4．如图，直线a∥b，若∠1=55°，∠2=60°，则∠3等于（　　）

A．85° B．95° C．105° D．115°
【解答】解：∵∠4=∠1+∠2=55°+60°=115°，
∵a∥b，
∴∠3=∠4=115°，
故选D．

　
5．下列说法中正确的是（　　）
A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量
B．为了审核书稿中的错别字，应该选择抽样调查
C．一组数据3、x、4、5、8的平均数为5，则这组数据的中位数是5
D．A组数据方差SA2=0.03，B组数据方差SB2=0.2，则B组数据比A组数据稳定
【解答】解：在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本，故选项A错误，
为了审核书稿中的错别字，应该选择全面调查，故选项B错误，
一组数据3、x、4、5、8的平均数为5，则x=5，故这组数据的中位数是5，故选项C正确，
A组数据方差SA2=0.03，B组数据方差SB2=0.2，则A组数据比B组数据稳定，故选项D错误，
故选：C．
　
6．如图，AB是⊙O的弦，过点A作⊙O的切线，交BO的延长线于点C．若∠B=28°，则∠C的度数是（　　）

A．28° B．34° C．44° D．56°
【解答】解：∵AC为切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=28°，
∴∠AOC=∠OAB+∠B=56°，
∴∠C=90°﹣56°=34°．
故选：B．
　
7．已知x﹣2y=﹣3，那么代数式2x﹣4y+3的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
【解答】解：当x﹣2y=﹣3时，
2x﹣4y+3=2（x﹣2y）+3=﹣6+3=﹣3，
故选：A．
　
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
　
9．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）
A．67 B．92 C．113 D．121
【解答】解：第（1）个图形中最下面有1个圆，上面有1个圆；
第（2）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；
第（3）个图形中最下面有3个圆，上面有1+3+5+3+1个圆；
…
第（7）个图形最下面有8个圆，上面有1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1个圆，
∴共有7+（1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1）=92，
故选：B．
　
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．b=2a C．a+c＞b D．4a+2b+c＞0
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，对称轴为x=﹣=1，得2a=﹣b，
∴a、b异号，即b＞0，即abc＜0，b=﹣2a，A、B选项错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，故C错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故D正确；
故选：D．
　
11．如图，在A处观察C处的仰角∠CAD=31°，且A、B的水平距离AE=80米，斜坡AB的坡度i=1：2，索道BC的坡度i=2：3，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，则索道BC的长大约是（　　）（参考数据：tan31°≈0.6；cos31°≈0.9；≈3.6）．

A．140 B．144 C．150 D．154
【解答】解：∵AB的坡度i=1：2，
∴BE：AE=1：2，
∵AE=80，
∴BE=40，∴FD=40．
∵索道BC的坡度i=2：3，[来源:网]
∴设CF=2x，则BF=3x，
∵tan31°=，
∴≈0.6，
解得，x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，
∴BF=120，CF=80，
∴BC==40≈144，
故选：B．
　
12．若数a使关于x的不等式组的解为x＜2，且使关于x的分式方程+=﹣4有正整数解，则满足条件的a的值之和为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
【解答】解：不等式组整理得：，
由已知解集为x＜2，得到a+4≥2，
解得：a≥﹣2，
分式方程去分母得：1﹣x+a+5=﹣4x+16，
解得：x=，
当a=1时，x=3；a=4时，x=2；a=7时，x=1，
则满足条件a的值之和为1+4+7=12，
故选：A．
　
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上．
13．据相关数据统计，大多数动植物细胞的直径在20微米到30微米之间，已知某动物细胞直径为25微米，即为0.000025米，请将0.000025用科学记数法表示为　2.5×10﹣5　．
【解答】解：0.000025用科学记数法表示为2.5×10﹣5，
故答案为：2.5×10﹣5
　
14．计算：（﹣1）2017+﹣（﹣）﹣2+cos60°=　﹣7　．
【解答】解：（﹣1）2017+﹣（﹣）﹣2+cos60°
=﹣1+2﹣9+
=﹣7．
故答案为：﹣7．
　
15．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为　　．

【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴=，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=，
∴AC===3，
∴S△ABC=×BC×AC=××3=，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣．
故答案为：．

　
16．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数﹣3，﹣2，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩余小球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率是　　．
【解答】解：画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的结果数为8，
所以a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率==．
故答案为．
　
17．甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行驶的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示，若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则在返回途中二人相遇时离A地的距离是　5　千米．

【解答】解：乙上坡的速度是：6÷=10千米/小时，下坡的速度是：10÷（﹣）=20千米/小时．
甲的速度是：16÷=12千米/小时，
上坡时，甲与乙之间的距离是越来越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，设x小时乙追上甲．
则有：12x=10+20（x﹣1），
x=（小时），
此时离A地距离=12×﹣10=5（千米）．
故答案为5．
　
18．在正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE=2，FG⊥AE交DC于G，将GF绕着G点逆时针旋转使得F点正好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG交AB于N点，交AE于M点，则S△MNF=　　．

【解答】解：过B作BP⊥AE于P，
∵正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，
∴BE=BC=2，
∴AE==10，
∴BP===4，
∴PE===2，
∴EF=EP，
∴F与P重合，
∴B，F，G共线，
过F作OS⊥DC，交AB于O，DC于S，则OS⊥AB，
过F作FQ⊥BC于Q，
sin∠FBE==， =，
∴FQ=，
∴BQ=，
易得矩形OFQB，
∴FO=BQ=，
∴FS=4﹣=，AO=AB﹣OB=4﹣=，
∵GF⊥AE，
∴∠AFG=90°，
∴∠GFS+∠AFH=∠AFH+∠FAH，
∴∠GFS=∠FAB，
∴tan∠FAB=tan∠GFS==，
∴=，
∴GS=，
∴DG=DS﹣GS=AO﹣GS=﹣=2，
∵GH=GF，
∴DH2+DG2=GS2+FS2，
∴DH2+（2）2=（）2+（）2，
∴DH=4，
∴AH=4﹣4，
tan∠ANH=tan∠DHG==，
=，
AN=，
过M作MR⊥AB于R，
设MR=x，则AR=2x，
tan∠ANH=tan∠DHG==，
∴=，
∴RN=，
由AR+RN=AN得：2x+=，
x=6﹣2，
∴MR=6﹣2，
∴S△MNF=S△ANF﹣S△AMN=AN•FO﹣AN•MR=AN（FO﹣MR）=××（﹣6+2）=．
故答案为：．
　
三、解答题（本大题共3个小题，共26分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
19．如图，AB=CD，AE=CF，E、F是BD上两点，且BF=DE．
求证：△ABE≌△CDF．

【解答】证明：∵BF=DE，
∴BE+EF=EF+DF，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．

　
20．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，记者小刘随机调查了某区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）若该区共有中学生8000人，请根据以上图表信息估算出该区中学生中对“校园手机”持“无所谓”态度的人数是多少？

【解答】解：（1）∵由条形统计图，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图，无所谓的家长占20%，
∴家长总人数为80÷20%=400人；
反对的人数为400﹣40﹣80=280人．如图所示：


（2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：×360°=36°；

（3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，占被调查人数的=，
故该区学生中持“无所谓”态度的学生人数约有8000×=1200人．
　
21．（10分）化简下列各式：
（1）4（a+b）2﹣2（a+b）（2a﹣2b）
（2）（m+2）÷（m﹣1+）﹣．
【解答】解：（1）原式=4（a2+2ab+b2）﹣4（a2﹣b2）
=4a2+8ab+4b2﹣4a2+4b2
=8b2+8ab
（2）原式=（m+2）÷﹣=（m+2）×﹣=﹣=1
　
四、解答题（本大题共4个小题，每小题10分共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
22．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于二象限内的A点和四象限内的B点，与x轴将于点C，连接AO，已知AO=2，tan∠AOC=，点B的坐标为（a，﹣4）．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【解答】解：（1）如图，作AD⊥x轴于点D，

∵tan∠AOC==，
∴设AD=a、则OD=2a，
∴AO===a=2，
则a=2，
∴AD=2、OD=4，
则点A坐标为（﹣4，2），
将点A坐标代入y=，得：m=﹣8，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（a，﹣4）代入y=﹣，得：a=2，
∴B（2，﹣4），
将点A、B坐标代入y=kx+b，
得：
解得：，
则一次函数解析式为y=﹣x﹣2；

（2）由函数图象知当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）在y=﹣x﹣2中当y=0时，﹣x﹣2=0，
解得：x=﹣2，
∴OC=2，
S△AOB=S△AOC+S△BOC
=OC•AD+OC•BE
=×2×2+×2×4
=2+4
=6．
　
23．（10分）观音桥重百电器某品牌洗衣机销售情况良好，据了解，去年5月份该洗衣机售价为2900元，当月销出615台，据了解，每涨价100元，销量就减少5台．
（1）若该商场要想该品牌洗衣机月销量不低于600台，则售价应不高于多少元？
（2）据悉，6月份该商场便购进该品牌洗衣机600台，并按（1）问的最高售价销售，结果全部售出，7月份，全国经济出现通货膨胀，商品价格进一步上涨，去年7月份该品牌洗衣机的售价比6月份上涨了m%，但7月的销售量比6月份下降了2m%．重百电器为了促进销量，8月份决定对该品牌洗衣机实行九折优惠促销，受此政策的刺激，该品牌洗衣机销售量比7月份增加了220台，且总销售额比6月份增加了15.5%，求m的值．
【解答】解：（1）设售价每台为x元，
615﹣5×≥600，
解得，x≤3200，
即销售价应不高于3200元；

（2）依题意有：3200（1+m%）×0.9×[600（1﹣2m%）+220]=3200×600（1+15.5%），
令m%=t，原方程化简得：120t2+38t﹣5=0，
解得t1=，t2=﹣（舍去），
则m的值为10．
　
24．（10分）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是　1101　，最大的亲密数是　9909　；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．
【解答】解：设亲密数为，且b≥c，a=b+c，d=b﹣c，a、b、c、d都是自然数，
（1）当a为最小时，则a=1，
∴b+c=a=1，
∵b≥c，
∴b=1，c=0，
∴d=b﹣c=1﹣0=1，
∴最小的亲密数是1101，
当a最大时，即a=9，
∴b+c=a=9，
∵b≥c，
当最大时，即b最大为9，
∴c=0，
∴d=b﹣c=9﹣0=9，
∴最大的亲密数是9909，
故答案为：1101，9909；
（2）证明：亲密数： =1000a+100b+10c+d①，
友谊数： =1000d+100b+10c+a②，
∵a=b+c，d=b﹣c，
∴a﹣d=（b+c）﹣（b﹣c）=2c＞0，
∴a＞d，a=2c+d，
①﹣②得：999a﹣999d=999（a﹣d）=999（2c+d﹣d）=1998c，
∵原亲密数的十位数字为c，
∴任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）=100b+10c+d，
∴﹣7a=100b+10c+d﹣7a，
∵a=b+c，
∴﹣7a=100b+10c+d﹣7（b+c）=93b+3c+d=93b+3c+b﹣c=94b+2c，
当b=4，c=1时，﹣7a=94×4+2=377，377÷13=29，
∵a=b+c=5，d=b﹣c=4﹣1=3，
∴此时这个亲密数5413．
　
25．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，E为△ABC外一点，CE⊥FE，CE=FE，连接AE、BF，点M为AE中点，点N为BF中点．
（1）若BC=4，FC=2，∠ECA=30°，求S△ACE．
（2）求证：MN⊥AE．

【解答】（1）解：如图1中，作EN⊥AC于N．

∵△EFC，△ABC都是等腰直角三角形，BC=4，CF=2，
∴CE=CF=2，CA=AB=4，
在Rt△CEN中，∵∠ECN=30°，EC=2，
∴EN=EC=1，
∴S△ACE=•AC•EN=•4•1=2．

（2）证明：如图2中，延长EN到G，使得NG=EN，连接AN、AG、BG，延长BG交EC的延长线于H．

在△FNE和△BNG中，
，
∴△FNE≌△BNG，
∴EF=BG=EC，∠EFN=∠GBN，
∴EF∥BH，
∴∠FEC=∠H=90°，
∴∠H+∠CAB=180°，
∴∠ACH+∠ABG=180°，
∵∠ACH+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠ABG，
在△ACE和△ABG中，
，
∴△ACE≌△ABG，
∴AE=AG，∠EAC=∠GAB，
∴∠EAG=∠CAB=90°，
∴△EAB是等腰直角三角形，
∵EN=NG，
∴AN=EN，∵EM=MA，
∴MN⊥AE．
　
五、解答题（本大题共1个小题，共12分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡（卷）中对应的位置上．
26．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+的图象与x轴从左到右交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点D为抛物线上一点，横坐标为﹣1．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线上位于线段AC上方的一动点（不与C重合），连接CE，作点D关于直线CE的对称点D′，当点D′落在线段AC上的时候，在线段CE上方的抛物线上再找一个点G，连接EG、CG得△ECG，求△ECG面积的最大值和此时点G的横坐标；
（3）如图2，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿线段AO匀速运动，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，以PQ为斜边向左作等腰直角△RPQ；同时，动点H以每秒个单位的速度，从点C出发，沿线段CA匀速运动，过点H作HM⊥x轴交抛物线于点M，以HM为斜边向左作等腰直角△NHM；设运动时间为t（秒），当△PRQ的一条边所在直线与△NHM的中位线重合时，求t的值．

【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2﹣x+，令y=0，得到﹣x2﹣x+=0，解得x=﹣5或，
∴A（﹣5，0），B（，0），
令x=0得到y=，
∴C（0，），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+．

（2）如图1中，连接DD′交CE于K，作D′H⊥OA于H．

∵D（﹣1，），A（﹣5，0），C（0，），
∴CD==，AC==，
∵CD=CD′=，
∴AD′=AC﹣CD′=
∵D′H∥OC，
∴==，
∴D′H=，AH=3，
∴D′（﹣2，），
∵DK=KD′，
∴K（﹣，3），
∴直线CE的解析式为y=﹣x+，
由，解得或，
∴E（﹣，），
∴直线CE的解析式为y=﹣x+，
设G（m，﹣m2﹣m+），作GN∥y轴交CE于N，则N（m，﹣m+），
∴GN=﹣m2﹣m++m﹣=﹣m2﹣m，
∴S△EGC=•（﹣m2﹣m）•=﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m=﹣时，△EGC的面积最大值为．

（3）如图2中，①当直线PQ经过△MNH的中位线EF时，作NK⊥MH于K，HT⊥OC于T．

∵AP=2t，CH=t，
∵HT∥AO，
∴=，
∴TH=2t，
∴H（﹣2t，﹣t+），M（﹣2t，﹣t2+t+），
∴MH=﹣t2+t，
∵AP+NK+HT=OA，
∴2t+（﹣t2+t）+2t=5，
整理得10t2﹣89t+80=0
解得t=或（舍弃）．
②如图3中，当直线PR经过△HMN的中位线EF时，

易知直线PR的解析式为y=﹣x+2t﹣5，F（﹣2t，﹣t2+t+），
∴﹣t2+t+=2t+2t﹣5，
整理得2t2+3t﹣12=0，
解得t=或（舍弃），
③如图4中，当直线QR经过△HMN的中位线EF时，

易知直线QR的解析式为y=x+5﹣t，F（﹣2t，﹣t2+t+），
∴﹣t2+t+=﹣2t+5﹣t，
整理得10t2﹣41t+20=0，
解得t=或（舍弃）
综上所述，满足条件的t的值为或或．