专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程（重难点突破）（解析版）-高二上（新教材人教A版）

专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点1．直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角与斜率的关系

(1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.

(2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．

当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．

当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．

2.求直线斜率的公式

经过两点的直线的斜率公式为          .

【名师提醒】

（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.

（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.

（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.

知识点2. 直线方程

知识点3. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化

直线的一般式、斜截式、截距式如下表：

直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：

（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为      ,斜率为      的直线.

（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为      ，在y轴上的截距为      的直线.

知识点4. 直线系方程

1．平行直线系方程

把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为               (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.

2．垂直直线系方程

一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为              (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.

知识点5. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件

若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，

则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：

（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.

即,且或.

（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即

三、重难点题型突破

重难点突破1 求直线的倾斜角与斜率

（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.

（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.

例1．（1）（多选题）（2020·江苏省高二期中）下列说法中正确的是（    ）

A．若是直线的倾斜角，则

B．若是直线的斜率，则

C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角

D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

【答案】BD

【解析】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD.

（2）．（浙江省嘉兴一中2016-2017学年高二联考）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】直线的斜率是，所以倾斜角为30°故选：A

每条直线都存在倾斜角，但每条直线不一定有斜率，当倾斜角为时，斜率不存在.

【变式训练】（1）.（2020·靖西市二中高二）若直线过点，则此直线的倾斜角是_________.

【答案】

【解析】直线过点则直线的斜率

设倾斜角为,根据斜率与倾斜角关系可得由直线倾斜角

可得.

（2）．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】过 两点的直线 的斜率 ，∵直线 倾斜角为，解得 或 ，当 时， 重合，舍去，∴ ．故选：B．

重难点突破2 求直线方程

例2．（1）（佳木斯市第一中学2016-2017学年高一下学期期末）过点且平行于直线的直线方程为(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题设可得所求直线的斜率是，由点斜式方程可得，即，应选答案C。

（2）．（湖北省宜昌市示范高中教学协作体2016-2017学年高二下学期期中）经过点且与直线平行的直线为 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】因为的斜率是，所以过点与其平行的直线方程为，即，应选答案B。

【变式训练1】已知点和直线l：.求：

（1）过点A且与直线l平行的直线方程；

（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.

【解析】因为直线l：，所以该直线的斜率.

（1）过点且与直线l平行的直线方程为.

（2）过点且与直线l垂直的直线方程为.

【变式训练2】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．

【解析】设直线的方程为，则，①

又直线过点，∴，②由①②得或.

∴直线的方程为或，即或．

【变式训练3】（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：

(1)斜率是，经过点A(8，－2)；

(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；

(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；

(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．

(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；

(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.

【解析】 (1)由点斜式，得y＋2＝ (x－8)，化简，得x－3y－8－6＝0.

(2)直线方程为x＝－2，即x＋2＝0.

(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0.

(4)由两点式，得＝，化成一般式为2x＋y－6＝0.

(5)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0；

(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.

重难点突破3 与平行与垂直的直线方程中的参数问题

例3．(1)下列各对直线不互相垂直的是　(　　)

A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)

B．l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q

C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)

D．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)

【答案】C

【解析】A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)，kPQ=，故两直线垂直；

B．l2过点P(1，1)，Q，kPQ=。故两条直线垂直。C， kPQ=，所以l1不与l2垂直.D，l1过点M(1，0)，N(4，-5)， ，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)，kPQ=，故两条直线垂直。故答案为C。

(2)．（多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　)

A．1         B．0                    C．2               D．-1

【答案】AB

【解析】 当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.故选AB．

【变式训练1】若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝__________．

【答案】

【解析】因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，所以由题意知－2·k＝－1，解得k＝.

【变式训练2】（2020湖南师大附中高二月考） 已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为(    )

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断

【答案】A

【解析】由题意得：；,, ,  

为直角三角形.

【变式训练3】 （2020山东潍坊三中高二期中）判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．

(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；

(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；

(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；

(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．

【解析】 (1)k1＝－10，k2＝＝，∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.

(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，k2＝＝0，

则l2∥x轴，∴l1⊥l2.

(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2.

又kAM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2.

(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．（2020·鸡西市一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C．或 D．

【答案】D

【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为或，所以或，所以或.综合得实数的取值范围是.故选：D.

2．（2020全国高二课时练习）下列说法中正确的是(    )

A．若直线与的斜率相等，则

B．若直线与互相平行，则它们的斜率相等

C．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交

D．若直线与的斜率都不存在，则

【答案】C

【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D，若与的斜率都不存在，则或与重合.

3．（2020山东菏泽三中高二期中）过点和点的直线与轴的位置关系是（    ）

A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直

【答案】B

【解析】两点的纵坐标都等于    直线方程为：直线与轴平行.

4．（2020全国高二课时练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（    ）

A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

【答案】A

【解析】直线经过，两点    直线的斜率：

直线的倾斜角为    直线的斜率：，， .

5．（多选题）（2020山东青岛四中高二月考）下列四个结论，其中正确的为（    ）

A.方程与方程可表示同一条直线；

B.直线l过点，倾斜角为,则其方程为；

C.直线l过点，斜率为0,则其方程为；

D.所有直线都有点斜式和斜截式方程.

【答案】BC

【解析】对于A，方程k＝，表示不过的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于x轴．B正确．

对于C，因为斜率为0,故方程为，显然正确；对于D所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故D不正确；BC正确，故选BC．

6．（2020重庆一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为，或，所以或，解得或.综上，实数的取值范围是.

7. 已知点A(1,0)，P为抛物线y＝x2＋2x－3上一点，若直线PA的倾斜角为45°，点P的坐标为_____．．

【答案】

【解析】设点P(x1，y1)(x1≠1)，则y1＝x＋2x1－3，因为A(1,0)，所以kPA＝＝＝x1＋3，又直线PA的倾斜角为45°，所以kPA＝1，所以x1＋3＝1，即x1＝－2.

当x1＝－2时，y1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，所以点P的坐标为(－2，－3)．

8．（2020·哈尔滨市第一中学校高二期末）经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________．

【答案】       

【解析】由斜率公式可得，,,故直线的斜率的取值范围为，由斜率与倾斜角的公式可得，直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为，

故直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：；.

9．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．

①，；

②，；

③，．

（2）已知点，，．求证：A，B，C三点共线．

【解析】（1）①，倾斜角为钝角；

②k不存在，倾斜角为直角；

③，倾斜角为锐角．

（2）证明：，，

且AB，BC都经过点B，A，B，C三点共线．
10．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为.

(1)求顶点的坐标；

(2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程.

【解析】（1）由已知得：

直线的方程为：，即：

由，解得：，的坐标为

（2）设，则

则，解得：

直线在轴、轴上的截距相等

当直线经过原点时，设直线的方程为

把点代入，得：，解得：

此时直线的方程为：

当直线不经过原点时，设直线的方程为

把点代入，得：，解得：

此时直线的方程为

直线的方程为：或