专题04 两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）
展开专题04 两条直线的位置关系、距离公式
一、知识结构思维导图
二、学法指导与考点梳理
一、两条直线的交点坐标
1．基础知识
几何元素及关系 | 代数表示 |
点M | |
直线l | 不同时为0) |
点M在直线l上 | |
直线与的交点是M | 方程组的解是_______ |
2．两条直线的交点
已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的
____________.
3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系
直线与的位置关系 | 相交 | 重合 | 平行 |
直线与的公共点个数 | 一个 | 无数个 | 零个 |
方程组的解 | _______ | _______ | 无解 |
二、两点间的距离
平面上任意两点间的距离公式为 .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.
三、点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 .
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 .
四、两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长.
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 .
五、对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
常见的点关于直线的对称点：
①点关于x轴的对称点 ；
②点关于y轴的对称点 ；
③点关于直线y=x的对称点 ；
④点关于直线y=−x的对称点 ；
⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；
⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.
3．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,
①l关于x轴对称的直线是 ;
②l关于y轴对称的直线是 ;
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;
④l关于直线y=−x对称的直线是A(−y)+B(−x)+C=0.
三、重难点题型突破
(一) 直线的交点问题
例1．若关于的方程组无解，则________．
【变式训练】直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为_________.
(二) 直线的距离公式的应用
例2．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的
最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】（1）.已知的三个顶点分别是A(−1,0),B(1,0), ,则为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（2）.若直线：与直线：平行，则与的距离为( )
A． B．
C． D．
(三) 直线的对称问题
例3．已知点P,Q在直线上.
(1)若点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,求点P的坐标;
(2)若点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,求点Q的坐标.
【变式训练1】某地A,B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线l的方程为x+2y-10=0.在河边上建一座供水站P分别向A,B两镇供水,若要使所用管道最省,则供水站P应建在什么地方?
【变式训练2】已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
(四) 综合问题
例4．（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于
点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】．（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：
平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
四、课堂定时训练
1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )
A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)
B．l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，Q
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)
2.（2020上海高二课时练）点到直线：的距离最大时，与的值依次为( )
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
3．直线与直线的垂直,则=（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]
A. 1 B. -1 C. 4 D. -4
4．已知直线与垂直，则的值是（ ）
A. 或 B. C. D. 或[来源:学科网ZXXK]
5．（2020瓦房店市高级中学高二月考）若点在直线上，且到直线的距离为，则点的坐标为_________
6．（2020合肥一六八中学高二期中）若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________．
7．（2020山东泰安一中高二月考）已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，－1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.
8．已知直线，，.
（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；
（2）若//，求与之间的距离.
9．（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．
（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
10．（2020上海高二课时练）直线，相交于点，其中.
（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
（2）求的面积；
（3）问为何值时，最大？
