专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程（重难点突破）（解析版）-高二上（新教材人教A版）

专题03 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点1．直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角与斜率的关系(1).倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.(2).倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．2.求直线斜率的公式经过两点的直线的斜率公式为          .【名师提醒】（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.知识点2. 直线方程名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不能表示与x轴垂直的直线斜截式y＝kx＋b不能表示与x轴垂直的直线两点式＝不能表示与坐标轴垂直的直线截距式＋＝1不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)适合所有的直线 知识点3. 直线的一般式与斜截式、截距式的互化直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同时为0)都不为0)直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为      ,斜率为      的直线.（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为      ，在y轴上的截距为      的直线. 知识点4. 直线系方程1．平行直线系方程把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为               (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.2．垂直直线系方程一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为              (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.知识点5. 一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.即,且或.（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即三、重难点题型突破重难点突破1 求直线的倾斜角与斜率（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.例1．（1）（多选题）（2020·江苏省高二期中）下列说法中正确的是（    ）A．若是直线的倾斜角，则B．若是直线的斜率，则C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率【答案】BD【解析】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD.（2）．（浙江省嘉兴一中2016-2017学年高二联考）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】直线的斜率是，所以倾斜角为30°故选：A每条直线都存在倾斜角，但每条直线不一定有斜率，当倾斜角为时，斜率不存在.【变式训练】（1）.（2020·靖西市二中高二）若直线过点，则此直线的倾斜角是_________.【答案】【解析】直线过点则直线的斜率设倾斜角为,根据斜率与倾斜角关系可得由直线倾斜角 可得.（2）．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】过 两点的直线 的斜率 ，∵直线 倾斜角为，解得 或 ，当 时， 重合，舍去，∴ ．故选：B．  
重难点突破2 求直线方程例2．（1）（佳木斯市第一中学2016-2017学年高一下学期期末）过点且平行于直线的直线方程为(    )A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】由题设可得所求直线的斜率是，由点斜式方程可得，即，应选答案C。（2）．（湖北省宜昌市示范高中教学协作体2016-2017学年高二下学期期中）经过点且与直线平行的直线为 （    ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】因为的斜率是，所以过点与其平行的直线方程为，即，应选答案B。【变式训练1】已知点和直线l：.求：（1）过点A且与直线l平行的直线方程；（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.【解析】因为直线l：，所以该直线的斜率.（1）过点且与直线l平行的直线方程为.（2）过点且与直线l垂直的直线方程为. 【变式训练2】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为，则，①又直线过点，∴，②由①②得或.∴直线的方程为或，即或．【变式训练3】（2020全国高二课时练）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直；(3)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.【解析】 (1)由点斜式，得y＋2＝ (x－8)，化简，得x－3y－8－6＝0.(2)直线方程为x＝－2，即x＋2＝0.(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0.(4)由两点式，得＝，化成一般式为2x＋y－6＝0.(5)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0；(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.重难点突破3 与平行与垂直的直线方程中的参数问题例3．(1)下列各对直线不互相垂直的是　(　　)A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)B．l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，QC．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)D．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)【答案】C【解析】A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)，kPQ=，故两直线垂直；B．l2过点P(1，1)，Q，kPQ=。故两条直线垂直。C， kPQ=，所以l1不与l2垂直.D，l1过点M(1，0)，N(4，-5)， ，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)，kPQ=，故两条直线垂直。故答案为C。(2)．（多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　)A．1         B．0                    C．2               D．-1【答案】AB【解析】 当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.故选AB．【变式训练1】若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝__________．【答案】【解析】因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，所以由题意知－2·k＝－1，解得k＝.【变式训练2】（2020湖南师大附中高二月考） 已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为(    )A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, ,   为直角三角形. 【变式训练3】 （2020山东潍坊三中高二期中）判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)．【解析】 (1)k1＝－10，k2＝＝，∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，∴k1＝k2.又kAM＝＝－2≠k1，∴l1∥l2.(4)∵l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2020·鸡西市一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ）．A． B． C．或 D．【答案】D【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为或，所以或，所以或.综合得实数的取值范围是.故选：D.2．（2020全国高二课时练习）下列说法中正确的是(    )A．若直线与的斜率相等，则B．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D．若直线与的斜率都不存在，则【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D，若与的斜率都不存在，则或与重合.3．（2020山东菏泽三中高二期中）过点和点的直线与轴的位置关系是（    ）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于    直线方程为：直线与轴平行.4．（2020全国高二课时练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（    ）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】直线经过，两点    直线的斜率：直线的倾斜角为    直线的斜率：，， .5．（多选题）（2020山东青岛四中高二月考）下列四个结论，其中正确的为（    ）A.方程与方程可表示同一条直线；B.直线l过点，倾斜角为,则其方程为；C.直线l过点，斜率为0,则其方程为；D.所有直线都有点斜式和斜截式方程.【答案】BC【解析】对于A，方程k＝，表示不过的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于x轴．B正确．对于C，因为斜率为0,故方程为，显然正确；对于D所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故D不正确；BC正确，故选BC． 6．（2020重庆一中高二期中）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；当时，直线的斜率为，或，所以或，解得或.综上，实数的取值范围是.7. 已知点A(1,0)，P为抛物线y＝x2＋2x－3上一点，若直线PA的倾斜角为45°，点P的坐标为_____．．【答案】【解析】设点P(x1，y1)(x1≠1)，则y1＝x＋2x1－3，因为A(1,0)，所以kPA＝＝＝x1＋3，又直线PA的倾斜角为45°，所以kPA＝1，所以x1＋3＝1，即x1＝－2.当x1＝－2时，y1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，所以点P的坐标为(－2，－3)．8．（2020·哈尔滨市第一中学校高二期末）经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________．【答案】        【解析】由斜率公式可得，,,故直线的斜率的取值范围为，由斜率与倾斜角的公式可得，直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为，故直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：；.9．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．①，；②，；③，．（2）已知点，，．求证：A，B，C三点共线．【解析】（1）①，倾斜角为钝角；②k不存在，倾斜角为直角；③，倾斜角为锐角．（2）证明：，，且AB，BC都经过点B，A，B，C三点共线．
10．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为.(1)求顶点的坐标；(2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程.【解析】（1）由已知得：直线的方程为：，即：由，解得：，的坐标为（2）设，则则，解得：直线在轴、轴上的截距相等当直线经过原点时，设直线的方程为把点代入，得：，解得：此时直线的方程为：当直线不经过原点时，设直线的方程为把点代入，得：，解得：此时直线的方程为直线的方程为：或