专题04 两条直线的位置关系、距离公式（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题04  两条直线的位置关系、距离公式课时训练

【基础巩固】

1．（牡丹江市第一高级中学2016-2017学年高一下学期期末）已知直线： ， ： ，则与的关系（　　）

A. 平行    B. 重合    C. 相交    D. 以上答案都不对

【答案】A

2．两平行直线与之间的距离是（　　）

A．     B．        C． 2 D．1

【答案】A

3．若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为（　　）

A．    B．       C．或    D．或

【答案】D

【解析】由题意得，∴，，∴或.

4．已知直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于

，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意可得，，故等于两平行线与之间的距离，即．

5．在直线x−y＋4=0上存在一点P，使它到点M(−2,−4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．

【答案】

【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|=|PN|，即

，解得.故P点的坐标是.

6．已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.求证:不论m为何实数,直线l过定点.

【解析】直线l的方程可化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,

由,解得,∴直线l过定点(-1,-2).

7．（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．

（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．

【解析】（1）设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为.

∴，解得，∴点P′的坐标为(5，－1)．

（2）当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝，符合题意．

当直线l1的斜率存在时，设为k，则，∴直线l1的方程为y＋1＝k(x－1)，

则l1与l的交点B为，∴|AB|＝，

解得k＝－，∴直线l1的方程为3x＋4y＋1＝0.

综上可得，l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

8如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；

（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；

【答案】（1）（2）（3）

【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.

（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得.

因此，圆N的标准方程为.

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离

因为 而

所以，解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

【能力提升】

9.已知直线： 与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.

【答案】4

【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

10.已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)

A．(0，1)    B.                                 C.    D.

【答案】B

【解析】(1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.

图①　　　　　　　　图②

(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈

(∵0<a<1)，

∵对于任意的a>0恒成立 ，

∴b∈∩，即b∈.故选B.

答案　B

11.已知直线l经过直线与 的交点.

（1）点到直线l的距离为1,求l的方程；

（2）求点到直线l的距离的最大值.

【解析】（1）联立解得交点,              [来源:学+科+网Z+X+X+K]

若直线l的斜率不存在,即方程为, 此时点A到直线l的距离为1,满足题意；            

若直线l的斜率存在,设方程为,即,

∴,解得,直线方程为；综合得：直线l的方程为或.                    

（2）若直线l的斜率不存在,即方程为,距离为1 ,             

若直线l的斜率存在,设方程为,即,

点A到直线l的距离为,    

显然时,d有最大值,且

当且仅当∴点A到直线l的距离的最大值为                     

（2）由和得交点B（2,1）    

依题意AB和直线垂直距离最大.又A（1,0）

 距离最大值为           

【点评】若忽视斜率不存在,则容易漏解．

【高考真题】

 12. 若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.

【答案】1　

【解析】 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0，∴1×2－2×m＝0，即m＝1.

13.（2019北京理3）已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（    ）

（A）   （B）   （C）   （D）

【答案】D

【解析】 由直线l的参数方程消去t，可得其普通方程为．
则点（1，0）到直线l的距离是．故选D．

14.（2019江苏10）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是     .

【解析】由题意可设点的坐标为，则点到直线的距离

，当且仅当等号成立，

所以点到直线的距离的最小值为4.

15．(2018北京)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变

化时，的最大值为（   ）

A．1   B．2         C．3   D．4

【答案】．C

【解析】由题意可得

（其中，），∵,

∴，，

∴当时，取得最大值3，故选C．   

16．（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.

【答案】

【解析】由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，

则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得：，

则.