专题10 抛物线及其方程（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题10 抛物线及其方程
一、 知识结构思维导图

二、 学法指导与考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
＝
　x0＋　
＝
　－x0＋　
＝
　y0＋　
＝
　－y0＋　
考点二 与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

三、 重难点题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【解析】根据题意，抛物线：的焦点为，
设，则，，，
，故选A。
【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D　

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4.由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，所以|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
【答案】
【解析】设点 M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝.
【变式训练1-3】．（黑龙江省哈尔滨三中2019届质检）已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值为________．
【答案】2
【解析】如图，抛物线焦点F(0，－1)，抛物线的准线方程为y＝1，设点P到准线距离为d，则|y|＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|QF|－1＝－1＝2，所以|y|＋|PQ|的最小值为2.


重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（2020·河北省沧州市高三一模）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点、，并设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，
由韦达定理得，，
，，，，，
，可得，，
抛物线的准线与轴交于，
的面积为，解得，则抛物线的方程为，
所以，，故选B。

【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
【答案】D　
【解析】设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
【变式训练2-2】．（江苏省镇江一中2019届期中）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 (1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上—点，若＝＋λ(λ≠0)，求λ的值．
【解析】(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.因为λ≠0，所以λ＝2.
【变式训练2-3】．（ 吉林省辽源一中2019届模拟）已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB，
由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
∴点B为线段AP的中点，则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，∵k＞0，
∴点B的坐标为(1,2)，∴k＝＝.故选D.
重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系
例3．（2020·河南省安阳市高三一模）过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立，
故选C。
【变式训练3-1】．（2020·陕西省西安中学高三二模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为，故选C。
【变式训练3-2】．（2020·河南省开封市高三模拟（理））已知抛物线抛物线上的点
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）延长与以为直径的圆交于点求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设直线的斜率为，
因为；所以直线斜率的取值范围是.
（2）由题设可知，
联立直线与的方程
解得点的横坐标是
因为，
所以
令，
因为，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
因此当时，取得最大值。
重难点题型突破4 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例4.（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题设可得圆的方程为，
故圆心为，为抛物线的焦点，
所以
所以．
设直线,代入得，
设直线l与抛物线C的交点坐标为，
则，
则，
所以，解得，故选C。
【变式训练4-1】．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】双曲线的右准线，渐近线，双曲线的右准线与渐近线的交点，交点在抛物线上，可得：，
解得．故答案为．
【变式训练4-2】．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.
（1）求M的轨迹方程；
（2）设M位于第一象限，以AM为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.
【答案】（1）（2）4
【解析】
（1）∵，，当时，M的坐标为
当时，，∴，∴的方程为
由得，
验证当时，也满足
∴M的坐标满足方程，即M的轨迹方程为

（2）作轴于，轴于，则
又A为抛物线的焦点，∴，故圆与y轴相切于点N
∵，∵，∴，∴直线AM的方程为
联立，消去y整理得，解得或（舍），即
∵A为抛物线的焦点，∴
【变式训练4-3】．（2020届湖北省宜昌市高三调研）已知抛物线和直线，直线恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线的最大距离为2.
（1）求圆P的方程；
（2）直线与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D．如果，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）直线过定点，∵圆心.
因为圆P上的点到直线的最大距离为2，所以，
所以圆P的方程为.
（2）由知为抛物线焦点

由图和，知.
，
设，，则，.
由拋物线的定义得，
所以，所以，，从而有
所以.所以直线的方程为.
重难点题型突破5 其它综合问题
例5．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.
【答案】(1) ；(2) 或
【解析】
(1))设的坐标为，(如图)

因为向量与轴正方向的夹角为60°,，
所以，
根据抛物线定义得：，
即，解得：即，
则，
解得：即抛物线的方程为：；
(2) 设的坐标为，，则
，
因为点在抛物线：上，即有：，
所以，
，
因此

当且仅当即时等号成立，
此时，，
所以直线的方程为：
或
【变式训练5-1】．（2020届四川省泸州市高三二诊）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF（O为坐标原点）的面积为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.
【答案】（1）.（2）
【解析】
（1）由题知P点的横坐标为，代入抛物线方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，
所以P（，﹣p）或（，p），△POF面积为1，解得p＝2，
所以抛物线C方程为y2＝4x，S△OFP.
（2）设直线AB方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立抛物线方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，
|AB|①
因为|FA|+|FB|＝|AB|+2，所以x1+1+x2+1＝|AB|+2，即x1+x2＝|AB|，
my1+n+my2+n＝|AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②
由①②得2m2+2n，化简得m2＝n2﹣2n，
因为•32，所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，
（y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n）﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0，
解得n＝﹣8（舍）或16，
所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.



四、 课堂定时训练（45分钟）
1．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，
若，且，则为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.

由，得：，
由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，
由抛物线焦半径公式可得：，解得：，
，解得：，本题正确选项为B.
3．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
4．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两
条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
则有，∴，，，
∴.故选D.
5．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．故．
6．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.
【解析】（1）由抛物线经过点，得.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.
由得.
设，则.
直线的方程为.令，得点A的横坐标.
同理得点B的横坐标.
设点，则，
.
令，即，则或.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.