期末测试卷02（人教A版2019）（测试范围：选择性必修第一册、第二册）（原卷版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：选择性必修第一册、第二册（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．等差数列中，，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
2．若()，则直线被圆所截得的弦长为( )。
A、
B、
C、
D、
3．在等比数列中，公比，前项和，则( )。
A、
B、
C、
D、
4．已知椭圆上一动点，圆上一动点，圆上一动点，则的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
5．已知抛物线的焦点与双曲线()的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )。
A、
B、
C、
D、
6．已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，( )。
A、
B、
C、
D、
8．如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点在线段上，、分别为、的中点。设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．若，，与的夹角为，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足、、，则下列结论中错误的是( )。
A、
B、
C、是数列中的最大值
D、
11．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
12．已知函数()的图像与函数的图像关于直线对称，设定义在的函数的导函数满足，且，则当时，( )。
A、无极小值
B、无极大值
C、有极小值
D、有极大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数列满足，，(为常数，)，则 。
14．已知正方体中，，若，则 ， 。
（本小题每空2.5分）
15．设抛物线：()的焦点为，过的直线(斜率存在)与抛物线相交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，若点，且，则的值为 。
16．若函数()在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值之和为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
如图所示，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值。
18．（本小题满分12分）
已知数列满足，为的前项和，，。数列为等比数列且，，。
(1)求的值；
(2)记，其前项和为，求证：。
19．（本小题满分12分）
已知函数()。
(1)若，求在上的最小值和最大值；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）
设椭圆：()的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率。
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围。
21．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，平面平面，，。
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若动点在底面边界及内部，二面角的余弦值为，求的最小值。
22．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)当时，求证：；
(2)求证：当时，方程有且仅有个实数根。
