人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系优秀随堂练习题

突破4.2  直线、圆的位置关系课时训练

【基础巩固】

1．（多选题）（2020辽宁盘锦二中高二期中）在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)

【答案】ABD

【解析】由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.

2.直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]      B．[4,8]

C．[ ,3]  D．[2，3]

【答案】A　

【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

3.（贵州遵义四中2019届质检）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切   C．相离  D．不确定

【答案】A　

【解析】 (1)由题意知圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．

4.（四川绵阳中学2019届模拟）经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)

A.x＋y－5＝0  B.x＋y＋5＝0 

C．2x＋y－5＝0  D．2x＋y＋5＝0

【答案】C　

【解析】 点M(2,1)满足圆x2＋y2＝5，所以点M(2,1)在圆上．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则M(2,1)为切点，切点和圆心连线的斜率为，则切线斜率为－2，切线方程为y－1＝－2(x－2)，整理得2x＋y－5＝0.故选C.

5．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.

6.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__________.

【答案】2

【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.

7.已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

8．（湖南省湘潭一中2019届期中）直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．

【答案】[2,6]

【解析】圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C(2,0)，半径为r＝，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，且圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得AB＝2，所以△ABP面积的最大值为×AB×dmax＝6，△ABP面积的最小值为×AB×dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．

【能力提升】

9.（2020山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m. 

【答案】   2

【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:

由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m.

10．（多选题）（2020·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（    ）

A．圆M上点到直线的最小距离为2

B．圆M上点到直线的最大距离为3

C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是

D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是

【答案】ACD

【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，

所以点到直线的距离为，所以圆M：，

对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；

对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选：ACD.

11．（安徽省合肥一中2019届模拟）已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2,1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝6

B．(x－2)2＋(y－1)2＝22

C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22

D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32

【答案】C　

【解析】设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.

12．（福建省三明一中2019届模拟）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7    B．6     C．5    D．4

【答案】B　

【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．

因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

【高考真题】

13. (2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]      B．[4,8]

C．[ ,3]  D．[2，3]

【答案】A　

【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．

14．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]      B.[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

【答案】A　

【解析】设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，

可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.

由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，

△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．

15．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

【答案】C

【解析】解法一：由点到直线的距离公式得d＝，

cosθ－msinθ＝，

令sinα＝，cosα＝，∴cosθ－msinθ＝sin(α－θ)，

∴d≤＝＝1＋，∴当m＝0时，dmax＝3，故选C．

解法二：∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C．

16．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)

A．2   B．

C．   D．

【答案】 A

【解析】由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝.故离心率e＝ ＝＝2.故选A．

17.(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　 　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

【答案】B

【解析】法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．

∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.

∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，

圆心M(0,2)，半径r1＝2.

又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，

∴|MN|＝＝.

∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，∴两圆相交．

法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．

18.(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝__________.

【答案】2

【解析】 由x2＋y2＋2y－3＝0得x2＋(y＋1)2＝4.所以圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝2.

19.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

【解析】 (1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．

 (2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，

可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.故过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

20．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝4_.

【解析】由题意可知直线l过定点(－3, )，该定点在圆x2＋y2＝12上，

不妨设点A(－3, )，由于|AB|＝2，r＝2，

所以圆心到直线AB的距离为d＝ ＝3，又由点到直线的距离公式可得

d＝＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.

如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，

所以|CH|＝2.

在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4.