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    数学必修24.1 圆的方程精品当堂达标检测题

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    这是一份数学必修24.1 圆的方程精品当堂达标检测题,共8页。

    突破4.1  圆的方程课时训练

    【基础巩固】

    1福建省宁德一中2019届质检)若圆Cy轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于AB两点,且|AB|2,则圆C的标准方程是(  )

    A(x)2(y1)22 B.(x1)2(y)22

    C(x)2(y1)22 D(x1)2(y)22

    【答案】C 

    【解析】设线段AB的中点为D,则|AD||CD|1r|AC||CP|,故C(1),故圆C的标准方程是(x)2(y1)22,故选C.

    2.陕西工业大学附中2019届模拟)已知点A(2,-1,-3),点A关于x轴的对称点为点B,则|AB|的值为(  )

    A4  B6    C.  D2

    【答案】D 

    【解析】由题意可知点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,1,3),所以|AB|2.故选D.

    32020江西赣州三中高二月考)若直线yaxb通过第一、二、四象限,则圆(xa)2(yb)2r2(r0)的圆心位于( )

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】B

    【解析】因为直线yaxb通过第一、二、四象限,所以,因为圆心,所以圆心位于第二象限,选B.

    42020全国高二课时练)已知半径为1的圆经过点,则其圆心到原点的距离的最小值为(    ).

    A4 B5 C6 D7

    【答案】A

    【解析】设圆心,则,化简得

    所以圆心的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,

    所以,所以,当且仅当在线段上时取得等号,故选:A.

    5.(多选题)(2020·山东临朐高二月考)实数满足,则下列关于的判断正确的是(   

    A的最大值为 B的最小值为

    C的最大值为 D的最小值为

    【答案】CD

    【解析】由题意可得方程为圆心是,半径为1的圆,由为圆上的点与定点的斜率的值,设过点的直线为,即

    圆心到到直线的距离,即,整理可得解得

    所以,即的最大值为,最小值为。故选:.

    62020浙江丽水高二期末)为圆方程的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

    【答案】A

    【解析】方程表示圆需满足,所以为圆方程的充分不必要条件,故选:A.

     

    7.云南昆明第三中学2019届模拟)已知圆x2y24上一定点A(2,0)B(1,1)为圆内一点,PQ为圆上的动点.

    (1)求线段AP中点的轨迹方程;

    (2)PBQ90°,求线段PQ中点的轨迹方程.

    【解析】(1)AP的中点为M(xy),由中点坐标公式可知点P坐标为(2x2,2y)

    因为点P在圆x2y24上,所以(2x2)2(2y)2 4.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.

    (2)PQ的中点为N(xy).在RtPBQ中,|PN||BN|.

    O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2,所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.

    8.湖北武汉二中2019届模拟)根据下列条件,求圆的方程.

    (1)经过点A(5,2)B(3,-2),且圆心在直线2xy30上;

    (2)经过P(2,4)Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6.

    【解析】(1)由题意知kAB2AB中点为(4,0),设圆心C(ab)

    因为圆过A(5,2)B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上,

    解得所以C(2,1)

    所以r|CA|,所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210.

    (2)设圆的方程为x2y2DxEyF0.

    PQ两点的坐标分别代入得

    又令y0,得x2DxF0.  

    x1x2是方程的两根,由|x1x2|6,得D24F36,  

    ①②④解得D=-2E=-4F=-8D=-6E=-8F0.

    故所求圆的方程为x2y22x4y80x2y26x8y0.


    【能力提升】

    92020·浙江温岭中学高二月考)已知,动点满足,则点的轨迹方程是___________;又若,此时的面积为___________.

    【答案】.   

    【解析】,设,由,得

    整理得:;以为直径的圆的方程为

    联立,解得.点的纵坐标的绝对值为.

    此时的面积为.

    10浙江省台州一中2019届期中)已知M(mn)为圆Cx2y24x14y450上任意一点.

    (1)m2n的最大值;

    (2)的最大值和最小值.

    【解析】将圆C化为标准方程可得(x2)2(y7)28,所以圆心C(27),半径r2.

    (1)m2nb,则b可看作是直线n=-my轴上截距的2倍,故当直线m2nb与圆C相切时,b有最大或最小值.所以2,所以b162(b162舍去),所以m2n的最大值为162.

    (2)k,则k可看作点(mn)与点(2,3)所在直线的斜率,所以当直线n3k(m2)与圆C相切时,k有最大或最小值,所以2,解得k2k2.所以的最大值为2,最小值为2.

    112020·四川省绵阳南山中学高二月考)设三角形的顶点坐标是A0a),B0),C0),其中a>0,圆M的外接圆.

    1)求圆M的方程;

    2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.

    【解析】 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

    M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),

    解得D=0,E=3-a,F=-3a.M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.

    (2)M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.

    解得x=0,y=-3.

    M过定点(0,-3).

    122020全国高二课时练)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点AB边所在直线的方程为,点AD边所在直线上.

    1)求AD边所在直线的方程;

    2)求矩形ABCD外接圆的方程.

    【解析】 (1)AB所在直线的方程为x3y60,且ADAB垂直,

    直线AD的斜率为-3

    T(1,1)在直线AD上,

    AD边所在直线的方程为y1=-3(x1),即3xy20

    (2),,

    A的坐标为(0,-2)

    矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)

    M为矩形ABCD外接圆的圆心,又|AM|.

    矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28


    【高考真题】

    13(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为__________.

    【答案】(x-1)2+y2=4.

    【解析】抛物线y2=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,

    F为圆心,且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

    14.(2019·浙江高考)已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆相切于点,则_____,______.

    【答案】       

    【解析】可知,把代入得,此时.

    15.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.

    【答案】

    【解析】设圆的方程为,圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则:

    ,解得:,则圆的方程为.

    16.(2017·天津高考)设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点Cl上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为____________ .

    【答案】

    【解析】设圆心坐标为,则,焦点

    ,由于圆轴得正半轴相切,则取,所求圆得圆心为,半径为1,所求圆的方程为.

    17(2018·全国卷)设抛物线Cy24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线lC交于AB两点,|AB|8.

    (1)l的方程;

    (2)求过点AB且与C的准线相切的圆的方程.

    【解析】(1)由题意得F(1,0)l的方程为yk(x1)(k>0)

    A(x1y1)B(x2y2)

    k2x2(2k24)xk20.

    Δ16k216>0,故x1x2.

    所以|AB||AF||BF|(x11)(x21).

    由题设知8

    解得k=-1(舍去)k1.

    因此l的方程为yx1.

    (2)(1)AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y2=-(x3),即y=-x5.

    设所求圆的圆心坐标为(x0y0),则

    解得

    因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216(x11)2(y6)2144.

    18. 直线与圆交于两点,则________.

    【答案】

    【解析】根据题意,圆的方程可化为

    所以圆的圆心为,且半径是

    根据点到直线的距离公式可以求得

    结合圆中的特殊三角形,可知,故答案为.

    19(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0)(1,1)(2,0)的圆的方程为________

    【答案】x2y22x0

    【解析】设圆的方程为x2y2DxEyF0.将已知三点的坐标代入方程可得解得所以圆的方程为x2y22x0.

    20(2016·全国卷)x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1,则a(   )

    A.-          B.-

    C   D2

    【答案】A

    【解析】圆的方程可化为(x1)2(y4)24,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线axy10的距离为1,解得a=-,故选A

    21(2015·全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为2y2 .

    【答案】2y2.

    【解析】由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)B(0,2)C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2xy30,令y0,得x,所以圆心坐标为,则半径r4,所以该圆的标准方程为2y2.

     

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