数学必修24.2 直线、圆的位置关系教案设计

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4．2　直线、圆的位置关系
4．2，1　直线与圆的位置关系

Q
早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系，你发现了吗？
X
1．直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆__相交__，有两个公共点；
(2)直线与圆__相切__，只有一个公共点；
(3)直线与圆__相离__，没有公共点．
2．几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
(1)d>r⇔圆与直线__相离__；
(2)d＝r⇔圆与直线__相切__；
(3)d 3．代数判定法：
由消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则
(1)Δ>0⇔直线与圆__相交__；
(2)Δ＝0⇔直线与圆__相切__；
(3)Δ<0⇔直线与圆__相离__．
Y
1．以(－2，1)为圆心且与直线x＋y＝3相切的圆的方程为(　D　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝8
[解析]　圆心(－2，1)到直线x＋y－3＝0的距离d等于圆的半径r＝＝2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝8．
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝(　D　)
A．－2或12　　　　　　 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
[解析]　∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1，1)，半径为1的圆相切
∴＝1⇒b＝2或12，故选D．
3．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为__4π__．
[解析]　圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以()2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．
4．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过原点的直线l与其交于不同的两点A，B．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求线段AB的中点P的轨迹方程．
[解析]　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
由题意可设直线l的方程为y＝kx．
∵直线l与圆C有两个不同交点，
∴<1，
∴－ (2)设点P(x，y)，∵点P为线段AB的中点，∴CP⊥OP．
∴kCP·kOP＝－1，
即·＝－1(x≠2且x≠0)，
化简得x2＋y2－2x＝0．
由，得．
故点P的轨迹方程为x2＋y2－2x＝0(
H
命题方向1　⇨直线与圆的位置关系
典例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0，当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点？
[思路分析]　直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
[解析]　解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径长r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝．
(1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

『规律方法』　(1)处理直线与圆的位置关系问题主要用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径长的大小，而较少用联立方程．
(2)注意到直线过定点(1，－1)，可以借助数形结合讨论解决．
〔跟踪练习1〕
已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？
[解析]　解法一：将y＝x－b代入x2＋(y－1)2＝2中消去y得2x2－2(1＋b)x＋b2－1＝0※，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2－1)＝－4(b＋1)(b－3)，
当－10，方程※有两个不等实根，直线与圆有两个公共点．
当b＝－1或3时，Δ＝0，方程※有两个相等实根，直线与圆有一个公共点．
当b<－1或b>3时，Δ<0，方程※无实数根，直线与圆无公共点．
解法二：圆心O(0，1)到直线y＝x－b距离d＝，圆半径r＝．
当d 当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点．
当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离，无公共点．
命题方向2　⇨弦长问题
典例2 直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
[思路分析]　先讨论直线斜率不存在的情况，可知不合题意，则可直接设出直线的点斜式方程，再根据弦长|AB|＝4求解．可以利用弦长公式，也可以利用几何法，由半径、半弦长、圆心到直线的距离d之间的关系求解．
[解析]　若直线l的斜率不存在，则l：x＝5，与圆C相切，不合题意，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解法一：联立方程组，消去y，得
(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0．
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0．
又x1＋x2＝－，x1x2＝．
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4．
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2符合题意，
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

解法二：如右图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2．
∴|OH|＝＝．
∴＝，解得k＝或k＝2．
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．

『规律方法』　设直线l的方程为ax＋by＋c＝0，圆O的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦长的方法通常有以下两种：

(1)几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2．
(2)代数法：解方程组，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则
|AB|＝
＝．
〔跟踪练习2〕
若圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，则这个圆的方程是(　B　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝0　　 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
[解析]　由题意得，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝，再由圆的弦长公式，可得2＝2⇒r2－d2＝2，即r2＝d2＋2＝4，所以这个圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，故选B．
命题方向3　⇨圆的切线问题
典例3 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程，
[思路分析]　分斜率存在与不存在两种情况讨论．
[解析]　∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，∴点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，解得k＝－．
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0．
(2)若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．

『规律方法』　求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
〔跟踪练习3〕
平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　A　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
[解析]　∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0．
∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，∴m＝±5．
即所求的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．
Y 　忽视隐含条件
典例4 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是(　C　)
A． (－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解]　选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k>0，解得k>－2，答案：A
[错因分析]　产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆．
[正解]　因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k>0，解得k<2，又由错解知，要使P在圆外，则k>－2，故－2 X 　数形结合思想

1．已知直线l与⊙C相离，圆心C到l的距离为d，圆半径为r，P是⊙C上任意一点，P到l的距离d1，满足d－r≤d1≤d＋r，过C作CD⊥l，垂足为D，直线CD交⊙C于A，B，过A，B，P作l的平行线l1，l2，l3，其中l3与CD相交于E，则有d1＝ED，而AD≤ED≤BD，∴d－r≤d1≤d＋r．

2．P是⊙C外一点，PA是⊙C的切线，则切线长l＝|PA|＝，特别地若P(x0，y0)，⊙C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则切线长l＝
或l＝．
典例5 由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　C　)
A．1　　　 B．2　　　
C．　　　 D．3
[解析]　解法一：在直线y＝x＋1上任取一点P(x，x＋1)，圆x2－6x＋y2＋8＝0的圆心C(3，0)，半径r＝1，
∴切线长l＝＝＝＝≥．
故选C．
解法二：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝．
K
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　B　)
A．相交　　 B．相切　　
C．相离　　 D．无法判断
[解析]　d＝＝1＝r，∴选B．
2．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　C　)
A．1 B．2
C．4 D．4
[解析]　依题意，圆的圆心为(1，2)，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，所以结合图形可知弦长的一半为＝2，故弦长为4．
3．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__2__．
[解析]　直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B两点，∠AOB＝120°，则△AOB为顶点为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．如图直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)交于A，B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0，0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，＝r，∴r＝2，故答案为2．