高中数学人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系精练

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课后提升作业 二十六

直线与圆的位置关系

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是　(　　)

A.相交       B.相切

C.相离       D.相交或相切

【解析】选C.圆的半径r=1，圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d===>1.

2.(2016·德州高一检测)设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为　(　　)

A.±   B.±2   C.±2   D.±4

【解析】选B.因为切线的方程是y=-(x-a)，

即x+y-a=0，

所以=，a=±2.

3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为　(　　)

A.1    B.2   C.4    D.4

【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长.

【解析】选C.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1，2)，半径r=，圆心到直线x+2y-5+=0的距离d==1，在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长l=2=2=4.

4.(2016·天水高一检测)过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为　(　　)

A.4    B.2    C.    D.

【解析】选A.根据题意，知点P在圆上，

所以切线l的斜率k=-=-=.

所以直线l的方程为y-4=(x+2).

即4x-3y+20=0.

又直线m与l平行，

所以直线m的方程为4x-3y=0.

故直线l与m间的距离为d==4.

5.(2016·汉中高一检测)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是　(　　)

A.y=x        B.y=-x

C.y=x        D.y=-x

【解析】选C.设切线方程为y=kx，圆的方程化为(x+2)2+y2=1，而圆心(-2，0)到直线y=kx的距离为1，所以=1.所以k=±.

又因为切点在第三象限，所以k=.

【补偿训练】圆x2+y2-4x=0在点P(1，)处的切线方程是　(　　)

A.x+y-2=0　　　　　　　  B.x+y-4=0

C.x-y+4=0       D.x-y+2=0

【解析】选D.圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为=-，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为，由点斜式得切线方程为：y-=(x-1)，即x-y+2=0.

6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于　(　　)

A.         B.2-

C.-1        D.+1

【解析】选C.因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即=1，解得a=±-1，因为a>0，所以a=-1.

7.(2016·长沙高一检测)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为　(　　)

A.1    B.2    C.    D.3

【解析】选C.设圆心为C(3，0)，P为直线上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以(PN)min=()min=，又(PC)min==2，所以(PN)min=.

8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是　(　　)

A.0°<α<30°     B.0°<α≤60°

C.0°≤α≤30°    D.0°≤α≤60°

【解题指南】求出直线与圆相切时的直线的斜率，数形结合即可得到直线l的倾斜角的取值范围.

【解析】选D.设过点P与圆相切的直线方程为y+1=k(x+)，则圆心到该直线的距离d==1，解得k1=0，k2=，画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0°≤α≤60°.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2016·郑州高一检测)过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.

【解析】点A(1，)在圆(x-2)2+y2=4内，当劣弧所对的圆心角最小时，l垂直于过点A(1，)和圆心M(2，0)的直线.

所以k=-=-=.

答案：

10.(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=　　　　.

【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在

△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.

答案:4

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·广州高一检测)已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1，P点坐标为(2，3)，求圆的过P点的切线方程以及切线长.

【解析】如图，此圆的圆心C为(1，1)，CA=CB=1，

则切线长|PA|=

==2.

(1)若切线的斜率存在，

可设切线的方程为y-3=k(x-2)，

即kx-y-2k+3=0，

则圆心到切线的距离d==1，

解得k=，

故切线的方程为3x-4y+6=0.

(2)若切线的斜率不存在，切线方程为x=2，此时直线也与圆相切.

综上所述，过P点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.

12.(2016·杭州高一检测)已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.

(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.

(2)当|PQ|=2时，求直线l的方程.

【解析】(1)因为l与m垂直，且km=-，

所以kl=3，故直线l的方程为y=3(x+1)，

即3x-y+3=0.因为圆心坐标为(0，3)满足直线l的方程，

所以当l与m垂直时，l必过圆心C.

(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意.

当直线l与x轴不垂直时，

设直线l的方程为y=k(x+1)，

即kx-y+k=0，因为|PQ|=2，

所以|CM|==1，

则由|CM|==1，得k=，

所以直线l：4x-3y+4=0.

故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.

【能力挑战题】

(2015·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.

(1)求圆C1的圆心坐标.

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4，

所以圆C1的圆心坐标为(3，0).

(2)设M(x，y)，则

因为点M为弦AB的中点，

所以C1M⊥AB，

所以·kAB=-1即·=-1，

所以线段AB的中点M的轨迹的方程为

+y2=.

(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心，r=为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)且E，F，

又直线L：y=k(x-4)过定点D(4，0)，

当直线L与圆C相切时，

由=得k=±，

又kDE=-kDF=-=-，kDF=，结合图形可知当k∈∪时，直线L：y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.

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