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必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题
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这是一份必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题，共33页。试卷主要包含了几类函数模型，解答数学应用题应过的三关等内容，欢迎下载使用。
知识储备
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
知识串讲
题型一：指数函数模型的应用
【例1】 (链接教材P148例3)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【解析】(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
【解题技巧】指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
【跟踪训练】设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
【解析】将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝x，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
【答案】81
题型二：对数型模型的应用
【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=lg3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【解析】(1)由y=lg3（）可知，
当θ＝900时，v＝lg3＝lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即lg3－lg3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
【解题技巧】对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
【跟踪训练】某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
【答案】1 024
题型三：以图表信息为背景的函数应用题
【例3】某医药研究所开发一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为（微克）与服药后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线 ABC 是函数（）的图象，且是常数．
（1）写出服药后y与x的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 微克时治疗疾病有效．若某病人第一次服药时间为早上 6 : 00 ，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克．（结果用根号表示）
【解析】（1）OA为正比例函数图像的一段，
∴可设,又A(1,8), 所以8＝b
∵曲线ABC：过点A(1,8)、B(7,1)
∴
∴y与x的函数关系式为…6分
（2）依题意，由，得
∴由图像可知，第二次服药最迟应该在当天的11点钟.……………10分
（3）将代入，将代入
即每毫升血液中，含第一次所服药的药量为微克，
含第二次所服药的药量为4微克，所以第二次服药3个小时后，
该病人每毫升血液中含药量为微克……………16分
【解题技巧】1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
2．建立函数模型解决实际问题的基本思路
【跟踪训练】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
【解析】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
题型四：建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解析】 (1)描点，作图如右图所示．
(2)从(1)图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如右图)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．
【解题技巧】建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．
【答案】120 80
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数描述．将表中两组数据和代入，
可得，解得．
所以．
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（）．
故答案为：120；80.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alg3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只D．7 000只
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安B．240安
C．75安D．135安
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
10．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．
（1）求p%的值；
（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？
14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.
专题5 函数的应用（二）
知识储备
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
知识串讲
题型一：指数函数模型的应用
【例1】 (链接教材P148例3)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【解析】(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
【解题技巧】指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
【跟踪训练】设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
【解析】将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝x，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
【答案】81
题型二：对数型模型的应用
【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=lg3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【解析】(1)由y=lg3（）可知，
当θ＝900时，v＝lg3＝lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即lg3－lg3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
【解题技巧】对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
【跟踪训练】某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
【答案】1 024
题型三：以图表信息为背景的函数应用题
【例3】某医药研究所开发一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为（微克）与服药后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线 ABC 是函数（）的图象，且是常数．
（1）写出服药后y与x的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 微克时治疗疾病有效．若某病人第一次服药时间为早上 6 : 00 ，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克．（结果用根号表示）
【解析】（1）OA为正比例函数图像的一段，
∴可设,又A(1,8), 所以8＝b
∵曲线ABC：过点A(1,8)、B(7,1)
∴
∴y与x的函数关系式为…6分
（2）依题意，由，得
∴由图像可知，第二次服药最迟应该在当天的11点钟.……………10分
（3）将代入，将代入
即每毫升血液中，含第一次所服药的药量为微克，
含第二次所服药的药量为4微克，所以第二次服药3个小时后，
该病人每毫升血液中含药量为微克……………16分
【解题技巧】1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
2．建立函数模型解决实际问题的基本思路
【跟踪训练】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
【解析】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
题型四：建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解析】 (1)描点，作图如右图所示．
(2)从(1)图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如右图)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．
【解题技巧】建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．
【答案】120 80
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数描述．将表中两组数据和代入，
可得，解得．
所以．
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（）．
故答案为：120；80.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alg3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只D．7 000只
【答案】C
【解析】当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安B．240安
C．75安D．135安
【答案】D
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.
由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
【答案】ABD
【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.
∵，∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝，3＝，6＝，
∴t1＝lg22，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝lg22＋lg23＝lg26＝t3，D正确．故选A、B、D.
5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】因为，代入，，
得，两式相减，得得到，即，故选：B.
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴，t1＝75.
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
【答案】B
【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
【答案】－1
【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1.
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
【答案】e6－1
【解析】当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【答案】2ln 2 1 024
【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
【答案】4 320·2－(t≥0)
【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意知当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝8×0.15＋lg5(2x－15)＝1.2＋lg5(2x－15)，所以
(2)当0≤x≤8时，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x＞8.
由题意知1.2＋lg5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.
所以小江的销售利润是20万元．
10．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．
（1）求p%的值；
（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？
【解析】（1）设砍伐n年后的森林面积为f（n），则f（n）＝a（1﹣P%）n．
由题意可得f（10），即a（1﹣P%）10，
解得：p%＝1．
（2）由（1）可得f（n）＝a•（）n＝a•，
令f（n）可得，，
∴，即n＝5．
故到今年为止，该森林已砍伐5年
14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
【解析】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.
【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为，得；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，
，
从表中任意取两组值代入可得，，解得，
；
（3）由（2）知，
所以，
当时，在上是减函数，在是增函数，
所以.
当时，为减函数，
所以.
综上所述，当时，取得最小值，
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋(a>0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
时间（单位：天）
60
100
180
种植成本（单位：元/（））
116
84
116
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
/天
10
20
25
30
/件
110
120
125
120
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋(a>0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
时间（单位：天）
60
100
180
种植成本（单位：元/（））
116
84
116
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
/天
10
20
25
30
/件
110
120
125
120
知识储备
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
知识串讲
题型一：指数函数模型的应用
【例1】 (链接教材P148例3)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【解析】(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
【解题技巧】指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
【跟踪训练】设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
【解析】将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝x，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
【答案】81
题型二：对数型模型的应用
【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=lg3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【解析】(1)由y=lg3（）可知，
当θ＝900时，v＝lg3＝lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即lg3－lg3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
【解题技巧】对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
【跟踪训练】某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
【答案】1 024
题型三：以图表信息为背景的函数应用题
【例3】某医药研究所开发一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为（微克）与服药后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线 ABC 是函数（）的图象，且是常数．
（1）写出服药后y与x的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 微克时治疗疾病有效．若某病人第一次服药时间为早上 6 : 00 ，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克．（结果用根号表示）
【解析】（1）OA为正比例函数图像的一段，
∴可设,又A(1,8), 所以8＝b
∵曲线ABC：过点A(1,8)、B(7,1)
∴
∴y与x的函数关系式为…6分
（2）依题意，由，得
∴由图像可知，第二次服药最迟应该在当天的11点钟.……………10分
（3）将代入，将代入
即每毫升血液中，含第一次所服药的药量为微克，
含第二次所服药的药量为4微克，所以第二次服药3个小时后，
该病人每毫升血液中含药量为微克……………16分
【解题技巧】1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
2．建立函数模型解决实际问题的基本思路
【跟踪训练】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
【解析】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
题型四：建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解析】 (1)描点，作图如右图所示．
(2)从(1)图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如右图)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．
【解题技巧】建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．
【答案】120 80
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数描述．将表中两组数据和代入，
可得，解得．
所以．
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（）．
故答案为：120；80.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alg3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只D．7 000只
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安B．240安
C．75安D．135安
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
10．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．
（1）求p%的值；
（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？
14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.
专题5 函数的应用（二）
知识储备
1．几类函数模型
2.三种函数模型的性质
知识串讲
题型一：指数函数模型的应用
【例1】 (链接教材P148例3)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【解析】(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
【解题技巧】指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
【跟踪训练】设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
【解析】将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝x，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
【答案】81
题型二：对数型模型的应用
【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数y=lg3（），单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【解析】(1)由y=lg3（）可知，
当θ＝900时，v＝lg3＝lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即lg3－lg3＝1，得＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
【解题技巧】对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
【跟踪训练】某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
【答案】1 024
题型三：以图表信息为背景的函数应用题
【例3】某医药研究所开发一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为（微克）与服药后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线 ABC 是函数（）的图象，且是常数．
（1）写出服药后y与x的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 微克时治疗疾病有效．若某病人第一次服药时间为早上 6 : 00 ，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克．（结果用根号表示）
【解析】（1）OA为正比例函数图像的一段，
∴可设,又A(1,8), 所以8＝b
∵曲线ABC：过点A(1,8)、B(7,1)
∴
∴y与x的函数关系式为…6分
（2）依题意，由，得
∴由图像可知，第二次服药最迟应该在当天的11点钟.……………10分
（3）将代入，将代入
即每毫升血液中，含第一次所服药的药量为微克，
含第二次所服药的药量为4微克，所以第二次服药3个小时后，
该病人每毫升血液中含药量为微克……………16分
【解题技巧】1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形．
2．建立函数模型解决实际问题的基本思路
【跟踪训练】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
【解析】（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
题型四：建立拟合函数模型解决实际问题
【例4】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解析】 (1)描点，作图如右图所示．
(2)从(1)图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如右图)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．
【解题技巧】建立拟合函数与预测的基本步骤
【跟踪训练】某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/（））与上市时间（单位：天）的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：，，，．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是________；最低种植成本是________元/（）．
【答案】120 80
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当和时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数描述．将表中两组数据和代入，
可得，解得．
所以．
故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（）．
故答案为：120；80.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alg3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有( )
A．4 000只 B．5 000只
C．6 000只D．7 000只
【答案】C
【解析】当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安B．240安
C．75安D．135安
【答案】D
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.
由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
【答案】ABD
【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.
∵，∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝，3＝，6＝，
∴t1＝lg22，t2＝lg23，t3＝lg26，
∴t1＋t2＝lg22＋lg23＝lg26＝t3，D正确．故选A、B、D.
5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】因为，代入，，
得，两式相减，得得到，即，故选：B.
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，∴，t1＝75.
7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
【答案】B
【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
【答案】－1
【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝－1.
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
【答案】e6－1
【解析】当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【答案】2ln 2 1 024
【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
【答案】4 320·2－(t≥0)
【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按lg5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意知当0≤x≤8时，y＝0.15x；
当x>8时，y＝8×0.15＋lg5(2x－15)＝1.2＋lg5(2x－15)，所以
(2)当0≤x≤8时，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x＞8.
由题意知1.2＋lg5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.
所以小江的销售利润是20万元．
10．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为．
（1）求p%的值；
（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？
【解析】（1）设砍伐n年后的森林面积为f（n），则f（n）＝a（1﹣P%）n．
由题意可得f（10），即a（1﹣P%）10，
解得：p%＝1．
（2）由（1）可得f（n）＝a•（）n＝a•，
令f（n）可得，，
∴，即n＝5．
故到今年为止，该森林已砍伐5年
14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
【解析】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.
【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为，得；
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，
，
从表中任意取两组值代入可得，，解得，
；
（3）由（2）知，
所以，
当时，在上是减函数，在是增函数，
所以.
当时，为减函数，
所以.
综上所述，当时，取得最小值，
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋(a>0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
时间（单位：天）
60
100
180
种植成本（单位：元/（））
116
84
116
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
/天
10
20
25
30
/件
110
120
125
120
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
“对勾”函数模型
y＝x＋(a>0)
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
时间（单位：天）
60
100
180
种植成本（单位：元/（））
116
84
116
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
/天
10
20
25
30
/件
110
120
125
120
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