2023届高考数学二轮复习专题四函数的图象与函数的应用综合练习（A卷）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四函数的图象与函数的应用综合练习（A卷）

1.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为(   )
A.75 B.100 C.125 D.150

2.函数的部分图像可能是(   )

A. B.

C.  D.

3.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度为1000 m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（，）(   )

A.4890 m/s B.5790 m/s C.6219 m/s D.6825 m/s

4.已知函数在上有零点，则正数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

5.函数的大致图象为(   )

A. B.

C. D.

6.已知是R上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是(   )

A.12 B.10 C.6 D.5

7.已知函数若方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8.(多选)下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象得出了关于这两个旅行者的四个信息，其中正确的是(   )

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h

B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者

D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样

9.(多选)已知定义域为R的偶函数有4个零点，，，，并且当时，，则下列说法中正确的是(   )

A.实数a的取值范围是 B.当时，

C.  D.的取值范围是

10.(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为关于的函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后关于的函数图象.

给出下列四种说法，其中正确的说法是(   )

A.图(2)对应的方案是:提高票价，并提高固定成本

B.图(2)对应的方案是:保持票价不变，并降低固定成本

C.图(3)对应的方案是:提高票价，并保持固定成本不变

D.图(3)对应的方案是:提高票价，并降低固定成本

11.已知偶函数的部分图象如图所示，且，则不等式的解集为_________.

12.里氏震级是1935年美国地震学家里克特和古登堡提出的一种地震震级标度，计算公式为，其中M是里氏震级，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.规定在距离震中100千米处地震仪记录到的最大振幅为1微米的地震为“标准地震”的振幅，即(单位：微米).现从距离震中100千米处观测地震，若地震仪记录到的最大振幅为10000微米，则里氏震级为__________级；里氏震级为8.3级的地震，在距离震中100千米处的地震仪上记录的最大振幅约是_________微米.(参考数据：)

13.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______________.

14.设函数是定义在R上的周期为2的函数，且对任意实数x，恒有，当时，，若在上恰有三个零点，则a的取值范围为___________.

15.已知函数，.

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由题意，得，解得.令，即，则，即需经过的天数为75.

2.答案：A

解析：因为，所以函数的定义域为R.又，所以函数是偶函数，故可排除B，D选项；因为，所以排除C选项.故选A.

3.答案：C

解析：由题意得，.故选C.

4.答案：C

解析：令，，得.设，.

易知在上单调递减，在上单调递增，，

又，，的值域为.

依题意得，，即，故选C.

5.答案：D

解析：由题得函数的定义域为，且，

所以函数为奇函数，排除选项C；

又，排除选项A，B.故选D.

6.答案：B

解析：由，得函数的周期是π，又为偶函数，且在时，，因此可得.易知是偶函数，作出函数与时，的图像，如图所示.由图像可知，当时，两函数图像有5个交点，又函数与均为偶函数，所以函数的零点个数是10.故选B.

7.答案：D

解析：方程有四个不同的实数根，可转化为函数与的图象有四个不同的交点，易知直线恒过点.作出函数的大致图象，如图所示.结合函数图象，可知且直线与曲线，有两个不同的公共点，所以方程在内有两个不等的实数根，令.则实数a满足解得，又，所以实数a的取值范围是，故选D.

8.答案：ABC

解析：看时间轴易知A正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此B正确；两条曲线的交点的横坐标是4.5，，故C正确，D错误.故选ABC.

9.答案：BC

解析：对于A选项，因为为偶函数且有4个零点，所以当时有2个零点，故，故A错误；对于B选项，当时，，故，故B正确；对于C选项，由函数是偶函数，可知，且，，故，故C正确；对于D选项，，由，可知，函数在上单调递增，故，故D错误.故选BC.

10.答案：BC

解析：由图(1)可设关于的函数为为票价，当时，，则为固定成本.由图(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确;由图(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误.故答案为BC.

11.答案：

解析：由题中函数在上的图象可知，在区间上，，在区间上，，

又为偶函数，所以在区间上，，在区间上，.

综上可得，不等式的解集为.

12.答案：4；

解析：当，时，.

当时，，又，所以，解得.

13.答案：

解析：由题意作出函数的图像，如图所示.

则关于x的方程有两个不同的实根等价于函数的图像与直线有两个不同的交点，由图像可知当时，满足题意，故答案为.

14.答案：

解析：，，是R上的偶函数，又的周期为2，且当时，，作出的部分图象如图所示：

在上恰有三个零点，
和的图象在上恰有三个交点，
解得，即.

15.解析：（1）当时，，可得.

，故.

从而函数的图象在点处的切线方程为，

即.

（2），其定义域为，则.

（i）当时，对于任意的恒成立，故在上单调递减，

令，则，.

又因为，所以在上有唯一零点.

（ⅱ）当时，令，得.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故.

①若，，函数无零点.

②若，，函数有唯一零点.

③若，.

令，有.

令，有.

所以函数在，上各有一零点，从而函数有两个零点.

综上可得：当时，函数没有零点；当或时，函数有唯一零点；当时，函数有两个零点.