中考数学 专项训练 考点13 动点在等腰三角形中的分类讨论(基础)

专题13 动点在等腰三角形中的分类讨论

【专题说明】

点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍。比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形。这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样？又有什么规律可遵循？下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题。

既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心。

等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。

等腰三角形的判定：等角对等边。[来源:学科网]

而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；②角的不确定性。

当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！

当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！

因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法！

【精典例题】

1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？[来源:学科网ZXXK]

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，

∵厘米，点为的中点，∴厘米．

又∵厘米，∴厘米，∴．

又∵，∴，∴．

②∵， ∴，

又∵，，则，

∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．

∴点共运动了厘米．

∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．

2、已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．

（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【解析】：（1）过点作，垂足为．则，

当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，

四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．

，

（2）当时， 

当时，     

当时，

     点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。

3、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．[来源:Z.xx.k.Com]

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1                            备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

满分解答

（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以．所以，．

图2                     图3                        图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时．所以．

②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

此时．所以．

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．

在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．

因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时．所以．

②如图6，当QC＝QD时，由，可得．

所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．

此时．所以．

③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5                                图6

4、如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；

（2）如图1，求证：HF＝EF．

（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

图1                            图2

思路点拨

1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．

2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．

满分解答

（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．

在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．

在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．

（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，

∠DAH＝30°．

在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．

因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．

所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．

图3                     图4                      图5

（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．

由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．

因此FM＝，△ACM是等边三角形．

又因为AE＝，所以FM＝EA．

又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．

所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．

所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．

考点伸展

我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．

如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．

图6                          图7

如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．

图8                   图9                   图10            图11[来源:学+科+网Z+X+X+K]

5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．

所以点B的坐标为．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B，．解得．

所以抛物线的解析式为．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．

综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．

图2                                  图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

由，得抛物线的顶点为．

因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．

2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，

代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

图2

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

所以点P的坐标为(1, 2)．

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．[来源:Z*xx*k.Com]

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．

此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．

此时点M的坐标为(1,)或(1,)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．

当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3                  图4                   图5