中考数学 专项训 练考点12 斜截模型解直角三角形(基础)

专题12 斜截模型解直角三角形

【精典例题】

1、如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732)

解：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE，得矩形ABCE.

在Rt△AED中，AE＝BC＝40 m，∠EAD＝45°，

∴ED＝AE·tan45°＝40 m.

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40 m，

∴AB＝40 m.

则CD＝EC－ED＝AB－ED＝40－40≈29.3(m)．

答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3 m和29.3 m.

2、为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73)．

解：(1)过点F作FG⊥EC于点G，

依题意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.

∴四边形DEGF是矩形．

∴FG＝DE.[来源:学科网]

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2.

∴点F到直线CE的距离为2米．

(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.

∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3.

∴FD＝EG＝CG＋CE＝3＋6.

在Rt△BCE中，BE＝CE·tan60°＝6.

在Rt△AFD中，AD＝DF·tan45°＝3＋6.

∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3.

答：宣传牌的高度AB约为4.3米．

3、如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．

求：

（1）P到OC的距离．

（2）山坡的坡度tanα．

（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

解：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝31°，∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan31°；

∵CD﹣BD＝BC，∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°＝40，∴0.60PD﹣0.50PD＝40，

解得PD＝400（米），

∴P到OC的距离为400米；

（2）在Rt△PBD中，BD＝PD•tan26.6°≈400×0.50＝200（米），

∵OB＝240米，∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40米，

∵OE＝PD＝400米，∴AE＝OE﹣OA＝400﹣300＝100（米），

∴tanα＝＝＝0.4，∴坡度为0.4．

4、如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝5 m，坡底EA＝30 m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高(结果用含有根号的式子表示)．

解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHCE是矩形，∴DH＝EC，DE＝HC＝5 m.

设建筑物BC的高度为x m，则BH＝(x－5)m.

在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝(x－5)m，AC＝EC－EA＝[(x－5)－30]m.

在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，[来源:Zxxk.Com]

∴＝，解得x＝.

答：建筑物BC的高为 m.

5、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，

∴ME＝DC＝3．CM＝ED，

在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，

在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，

∴DF＝3，

在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，

∵ED＝CM，∴AM＝ED，

∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，

∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．

答：旗杆AB的高度约为18.4米．

6、太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光与玻璃吸热管垂直)．已知：支架CF＝100 cm，CD＝20 cm，FE⊥AD于点E，若∠θ＝37°，求EF的长．(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75)[来源:Zxxk.Com]

解：如图，延长ED交BC的延长线于点H.

[来源

∵太阳光线与玻璃吸热管垂直，

∴∠1＋∠θ＝90°.[来源:学#科#网]

又∠1＋∠H＝90°，

∴∠H＝∠θ＝37°.

在Rt△CDH中，HC＝，

∴HF＝HC＋CF＝＋CF.在Rt△EFH中，

EF＝HF·sin 37°＝·sin 37°≈76.

答：EF的长为76 cm.

7、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向．轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向，这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）

解：由题意得：∠BAP＝37°，∠CAP＝35°，AD＝40海里，BE＝20海里，∠PDE＝45°，∠DPE＝90°，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD＝PE，

设PD＝PE＝x海里，则PA＝40+x（海里），PB＝20+x（海里），

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝＝tan37°≈0.75，

即＝，[来源:Z&xx&k.Com]

解得：x＝40，

∴PE＝40海里，PA＝80海里，

在Rt△ACP中，tan∠CAP＝＝tan35°≈0.70，

∴PC＝0.7PA＝56海里，

∴EC＝PE+PC＝40+56＝96（海里）；

答：E处距离港口C有96海里远．