中考数学 专项训练 考点14 动点在四边形中的分类讨论(能力)

专题14 动点在四边形中的分类讨论

1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为  ，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图1                              备用图

思路点拨

1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．

2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

满分解答

（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．

由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．

由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．

（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．

设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．

由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝

＝＝＝，[来源:Z.xx.k.Com]

得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．

（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．

由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．

当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．

由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．

由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．

整理，得7a2＝1．所以．此时P．

②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．

由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．

由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．

由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．

整理，得4a2＝1．所以．此时P．

图1                     图2                        图3

2、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？[来源:Z_xx_k.Com]

图1

思路点拨

1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．

3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．

4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．

满分解答

（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

  解得b＝－2，c＝3．

所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．

（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．

（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．

那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：

抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；

抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；

抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；

抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．

图2                                图3

考点伸展

本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？[来源:学.科.网]

如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为．

将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．

所以S＝．[来源:学科网]

图4

3、如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

思路点拨

1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．

2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．

满分解答

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

  解得，c＝1．

所以抛物线的解析式是．

（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．

如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，，

图2

所以．                                   

所以，．  

在Rt△ABH中，．

（3）直线AB的解析式为．

设点M的坐标为，点N的坐标为，

那么．

当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．

图3                           图4

4、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1             　             图2

 思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

（1）QB＝8－2t，PD＝．

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．                                                                 

在Rt△APE中，，所以．　

当PQ//AB时，，即．解得．

所以点Q的运动速度为．

（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．

如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．

直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．

图4                   图5                      图6

5、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．

2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，

代入点C(3, 0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）因为PE//BC，所以．因此．

所以点E的横坐标为．

将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．

所以点G的纵坐标为．于是得到．

因此．

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）或．

6、已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数

y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

满分解答

（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．

（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．

在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．

因此点C的坐标为（2，2）．

  图2                             图3

7、将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．

（1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．[来源:学科网ZXXK]

3．根据矩形的对角线相等列方程．

满分解答

（1）抛物线c2的表达式为．

（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．

抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．

抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．

抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．

①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：

情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．

情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．

图2                         图3                      图4

②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．