中考数学 专项训练 考点15 动点在梯形中的分类讨论(能力)
展开专题15 动点在梯形中的分类讨论
1、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；
（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．
思路点拨
1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．
2．因为∠CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况．
满分解答
（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．
将点C(5, 6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．
解得．所以抛物线的解析式为．
（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．
由A(－1,0)、C(5, 6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．
因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．
图2 图3
如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．
如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．
所以AE＝．所以点E的坐标为，或．
（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．
①如图4，当DF//AC时，由，得．
解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．
②如图5，当CF//AD时，由，得．
解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．
图4 图5
2、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；
（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．
图1
思路点拨
1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．
2．AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．
满分解答
（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°，点A的坐标为(－2, 0)．
因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．
因此OD＝4．所以点B的坐标为(4, 6)．
（2）将A(－2, 0)、B (4, 6)代入，
得 解得b＝2，c＝6．
所以抛物线的解析式为．
（3）由，得抛物线的对称轴为直线x＝2，点C的坐标为(0, 6)．[来源:Zxxk.Com]
如果AQ＝CP，那么有两种情况：
①如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ//CP，此时点P的坐标为(2, 6)．
②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上．
设点F的坐标为(x, 0)，根据FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．
解得x＝8．所以OF＝8，HF＝6．
因此．此时点P的坐标为．
图2 图3
3、已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
①求点D的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．
思路点拨
1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．
2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．
3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．
满分解答
（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．
将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，
得 解得
所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．
对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．
（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．
因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，[来源:Zxxk.Com]
代入点C(－2,－3)，可得b＝3．
所以点D的坐标为（0，3）．
②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．
由，得．
而DH＝7，所以PH＝3．
因此点E的坐标为（3，6）．
所以．
图2 图3
4、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．
2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．
3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．
4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．
满分解答
（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得 解得，，． 所以．
（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．
直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．
解方程，得，．
x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．
图2 图3
（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．
设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．
在Rt△OFG中，．所以．
在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．
所以．
在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．
因此．所以．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
所以．
于是．[来源:学科网ZXXK]
因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．
5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1 图2
思路点拨
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．
2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得
所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．
（2）由，知点B的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．
由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．
所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．
图3 图4 图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．
在Rt△PMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．
②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．
此时．
