中考数学 专项训练 考点18 动点在几何图形面积中的分类讨论(能力)

专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论

1、如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

图1                          备用图

思路点拨

1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．

2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．

满分解答

（1）抛物线的解析式为．

（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：

设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．

而FD2＝，所以FD＝．

因此PD－PF＝2为定值．[来源:学科网ZXXK]

（3）“好点”共有11个．

在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．

而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．

此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．

所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．

[来源:学#科#网]

图2                             图3

2、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．

图1

思路点拨

1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．

2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．

所以－8a＝－3．解得．

所以抛物线的解析式为．

（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．

在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．

在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．

所以S△PBQ＝．

因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。[来源:Z,xx,k.Com]

（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。

如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。

当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。

因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。

如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。

因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．

过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．

由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．

解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．

图2                        图3                    图4

3、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图1

思路点拨

1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．

2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．

3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．

4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．

满分解答

（1）b＝，点B的横坐标为－2c．

（2）由，设E．

过点E作EH⊥x轴于H．

由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．

所以．因此．所以．

当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．

整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．

所以抛物线的解析式为．

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．

直线BC的解析式为．

设，那么，．

所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．

因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．

当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．

综上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

4、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；[来源:Z,xx,k.Com]

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

思路点拨

1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是

△A′B′O面积的3倍．

2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．

3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．

满分解答

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．

因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，

代入B′(0, 2)，得a＝1．

所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．

（2）S△A′B′O＝1．

如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．

如图2，作PD⊥OB，垂足为D．

设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．

．

．

所以．

解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．

所以点P的坐标为(1，2)．

图2                         图3                        图4

（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．

5、如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．

2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．

3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．

4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．

满分解答

（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．

在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．

因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．

将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得

解得，．

（2）由，，

得．

所以．

所以PD的最大值为．

（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；

当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．

图2

6、如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．

2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．

满分解答

（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．

（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．

由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．

由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．

所以△PMB∽△PNA．

图2                   图3                    图4

（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．

当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．

①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．

7、如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．

②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时

S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD

＝

．

(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2                     图3                          图4