中考数学 专项训练 考点16 动点在直角三角中的分类讨论(基础)

专题16 动点在直角三角中的分类讨论

【专题说明】

在全国各地的中考试卷中，动点产生的直角三角形问题经常出现，有好多同学看见这样的题目，找不到思考的方向。下面给大家总结一下这类题常用的解法，很有参考价值，以下内容都是干货，不凑字数，力求精炼。[来源:Z§xx§k.Com]

1、两个定点求一个动点。这种题目找点方法是过两个定点做垂线，以定长为直径画圆，简称“两个垂直一个圆”。通过这样的作图法，可以快速找到符合题意的点，这就是常说的找点。求点的方法，构造三垂直模型，根据直角两侧有相似就可以求解。

2、两个动点或三个动点。因为三角形只有三个角，所以分三种情况讨论就可以了！当然有时也有直角不成立的情况。当它们分别为直角时，用相似或勾股定理求解，一般情况下，相似求解比勾股定理要简单一些。

【精典例题】

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；[来源:学§科§网Z§X§X§K]

(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．

【答案】解：(1)CP＝BQ;

【解法提示】如解图①，连接OQ，

图①

由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，

∴△POQ是等边三角形，

∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，

在Rt△ABC中，O是AB中点，

∴OC＝OA＝OB，

∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，

∴∠COP＝∠BOQ，

在△COP和△BOQ中，

∴△COP≌△BOQ(SAS)，

∴CP＝BQ；

(2)成立，理由如下：

如解图②，连接OQ，

第3题解图②

由旋转知PQ＝OP，∠OPQ＝60°，[来源:学|科|网]

∴△POQ是等边三角形，

∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，

∵在Rt△ABC中，O是AB中点，

∴OC＝OA＝OB，

∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，

在△COP和△BOQ中，

∴△COP≌△BOQ(SAS)，

∴CP＝BQ；

(3)BQ＝.

【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，

∴BC＝AC·tanA＝，

如解图③，过点O作OH⊥BC于点H，

第3题解图③

∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC，

∵O是AB中点，

∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，

∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°，

∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝，

∴CP＝PH－CH＝－＝，

连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝.

2、如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．

2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．

3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

满分解答

（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．

（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，

得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为(2m,－3)．

设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))．

如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．

由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．

所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．

所以．

图2                                 图3

（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，

可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．

证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．

因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．

此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)．

3、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．

（2）直线DB的解析式为．

由点P的坐标为(m, 0)，可得，．

所以MQ＝．

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2                                    图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

4、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．

所以，点D的坐标为．

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．

图2                            图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．

所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为．[来源:学。科。网]

根据对称性，直线l还可以是．

5、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

思路点拨

1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的k都是一致的．

2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．

图1

当k＝－2时，反比例函数的解析式是．

（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．

当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．                                                       

所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．

（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，

当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

由OQ2＝OA2，得．

解得（如图2），（如图3）．

图2                                 图3

6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．

3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．

满分解答

(1) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．

②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．

如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．

图1                      图2                      图3