中考数学 专项训练 考点19 动点在二次函数图象中的分类讨论(基础)

专题19 动点在二次函数图象中的分类讨论

【专题说明】

关于二次函数动点问题的解答方法

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于
对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；

【精典例题】

1、如图1，已知抛物线y＝x2－x－n(n>0)与x轴交于A，B两点(A点在B点的左边)，与y轴交于点C.

(1)若△ABC为直角三角形，求n的值；

(2)在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE∶ED＝1∶4.求n的值．

解：(1)若△ABC为直角三角形，则由Rt△AOC∽Rt△COB可得OC2＝OA·OB，[来源:Z+xx+k.Com]

由抛物线y＝x2－x－n(n>0)，可得OC＝n，OA·OB＝2n，

∴n2＝2n，解得n1＝2，n2＝0(舍去)．∴n＝2；

(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x＝，抛物线表达式为y＝x2－x－2，

令y＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，

设点P.

①如答图①，当直线PQ∥BC时，

当点P在点Q的左侧，

答图①

△BOC平移到△QNP的位置时，四边形PQBC为平行四边形，

此时NQ＝OB，即－m＝4，m＝－.

m2－m－2＝，此时点P坐标为；

当点P在点Q的右侧时，

同理可得m－＝4，解得m＝.

m2－m－2＝，

此时点P的坐标为.

答图②

②当直线PQ与直线BC相交时，如答图②，

此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离，

即m＝4－＝，m2－m－2＝－，此时点P的坐标为.

综上所述，满足条件的点P的坐标为，，；

答图③

(3)如答图③，过点D作DF⊥x轴，垂足为F.

则AO∶OF＝AE∶ED＝1∶4，

设A(a，0)，B(b，0)，则AO＝－a，OF＝－4a，

∵AD∥BC，

∴∠DAO＝∠OBC，

∵∠AFD＝∠BOC＝90°，∴△BOC∽△AFD，

∴＝，即＝，

由题意得ab＝－2n，∴＝－，

∴DF＝－5a·＝－5a·(－)＝a2，

∵点A，D在抛物线上，

∴

解得∴n的值为.

2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝(x－a)(x－3)(0<a<3)的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连结AD，BC.

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)若△AOD与△BPC相似，求a的值；

(3)点D，O，C，B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

解：(1)y＝(x－a)(x－3)，当y＝0时，x1＝a，x2＝3，

∴A(a，0)，B(3，0)．

当x＝0时，y＝3a，∴D(0，3a)；

(2)如答图①，连结AD，BC，

由(1)可得OA＝a，OD＝3a，BP＝，OP＝＋a＝，

答图①[来源:Z+xx+k.Com]

将x＝代入二次函数，得y＝－，

∴PC＝.

①当△DOA∽△CPB时，

有＝，即＝，

解得a＝0(舍去)或－3(舍去)．

②当△DOA∽△BPC时，

有＝，即＝，解得a＝.

综上，当△AOD与△BPC相似时，a＝；

答图②

(3)能．如答图②，连结BD，设BD的中点为M.

∵D，O，B三点共圆，且圆心为M，

假设点C也在此圆上，则应有MC＝MB，

∴＋＝＋，

解得a1＝，a2＝－(舍去)，a3＝－3(舍去)，a4＝3(舍去)，

∴当a的值为时，D，O，C，B四点共圆．

3、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋x＋c的图象经过点C(0，2)和点D(4，－2)，点E是直线y＝－x＋2与二次函数图象在第一象限内的交点．

(1)求二次函数的表达式及点E的坐标；

(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连结MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)如图2，经过A，B，C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

解：(1)∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象经过点C(0，2)和点D(4，－2)，

∴解得

∴二次函数表达式为y＝－x2＋x＋2，

与y＝－x＋2联立，解得x1＝0(舍去)，x2＝3，此时y＝1，故E(3，1)；

(2)S四边形COEM＝S△COE＋S△CME，S△COE＝·CO·，∵C(0，2)，E(3，1)，∴S△COE＝3，S△CME＝·CE·h(h为点M到CE的距离)，

∵M在抛物线上运动，∴当平行于CE的直线与抛物线相切于点M时，h最大，从而面积最大，

设l′的表达式为y＝－x＋b，

与y＝－x2＋x＋2联立，

得－x＋b＝－x2＋x＋2，

Δ＝36＋8(6－3b)＝0，解得b＝，

此时点M坐标为，

如答图①，过M作MN∥y轴，交CE于点N，

在y＝－x＋2中，令x＝，得y＝，

∴N，

∴S△CME＝·MN·＝，

∴S四边形COEM＝S△COE＋S△CME＝；

答图①

(3)在y＝－x2＋x＋2中，令y＝0，得x1＝，x2＝，

∴OA＝，OB＝，

[来源:学科网]

答图②

如答图②，连结BF，AC，

∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，

∴△AOC∽△FOB，

∴＝，即＝，解得OF＝，

∴F.

4、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.

(1)求m，n的值及该抛物线的表达式；

(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)．分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连结MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；

(3)如图3，连结BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[来源:学,科,网]

解：(1)把点A(m，0)，点B(4，n)代入x－y＝1，得m＝1，n＝3，

∴A(1，0)，B(4，3)，

代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得

∴y＝－x2＋6x－5；

(2)∵△APM和△DPN为等腰直角三角形，

∴∠APM＝∠DPN＝45°，

∴∠MPN＝90°，

∴△MPN为直角三角形．

令－x2＋6x－5＝0，解得x1＝1，x2＝5，

∴D(5，0)，AD＝4.

设AP＝m，则DP＝4－m，PM＝m，PN＝(4－m)，

∴S△MPN＝PM·PN＝×m·(4－m)

＝－m2＋m＝－(m－2)2＋1，

∴当m＝2，即AP＝2时，S△MPN最大，此时OP＝3，∴P(3，0)；

(3)存在，点Q坐标为(2，－3)或.

由A(1，0)，B(4，3)，C(0，－5)，D(5，0)，得AB＝3，AD＝4，直线CD的函数表达式为y＝x－5，∴∠BAD＝∠CDO＝45°，分两种情况讨论：

①当△ADQ∽△DAB时，＝，

∴DQ＝AB＝3，

答图

如答图，过Q点作x轴的垂线，垂足为E，则DE＝EQ＝DQ＝3，

∵D(5，0)，∴Q(2，－3)；

②当△QDA∽△DAB时，＝，

∴＝，解得DQ＝，

同上得Q坐标为.

综上，存在点Q坐标为(2，－3)或.

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t s，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；

(3)在(2)的条件下，当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)令y＝0，得x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝3；

令x＝0，得y＝－4，

故A(－2，0)，B(3，0)，C(0，－4)；

答图①[来源:Z|xx|k.Com]

(2)如答图①，过点Q作QD⊥AB于点D，则AP＝2t，BQ＝t，BO＝3，AB＝5，OC＝4，BC＝＝5，PB＝5－2t.

∵DQ∥OC，

∴△BDQ∽△BOC，

∴＝，即＝，

解得DQ＝t.

∴S△PBQ＝PB·DQ＝×t×(5－2t)＝－t2＋2t＝－＋，

∴当t＝时，S△PBQ取最大值为；

答图②

(3)存在，M的坐标为(1，－4)或.

设M，直线BC的表达式为y＝kx－4，

则3k－4＝0，解得k＝，

∴直线BC的表达式为y＝x－4，

如答图②，过M作ME⊥AB交BC于点N，则N，

∴MN＝m－4－＝－m2＋2m，

∴S△MBC＝S△CMN＋S△BMN＝MN·OB＝－m2＋3m，

∵△BMC的面积是△PBQ的面积的1.6倍，

∴－m2＋3m＝1.6×，整理得m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.

∴M(1，－4)或.

6、抛物线L：y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B.

(1)直接写出抛物线L的表达式；

(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k<0)与抛物线L交于点M，N.若△BMN的面积等于1，求k的值；

(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

解：(1)由题意知解得

∴抛物线L的表达式为y＝－x2＋2x＋1；

(2)∵y＝kx－k＋4＝k(x－1)＋4，

当x＝1时，y＝4，

∴该直线过定点G(1，4)，如答图，

答图

∵y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，

∴点B(1，2)，∴BG＝2，

∵S△BMN＝1，即S△BNG－S△BMG＝BG·(xN－1)－BG·(xM－1)＝1，

∴xN－xM＝1，

由得x2＋(k－2)x－k＋3＝0，

于是xM＋xN＝2－k，xM·xN＝3－k，

故xN－xM＝＝.

由xN－xM＝1得＝1，

∵k<0，∴k＝－3；

(3)设抛物线L1的表达式为y＝－x2＋2x＋1＋m，P(0，t)，

∴C(0，1＋m)，D(2，1＋m)，F(1，0)，

当△PCD∽△FOP时，＝，

∴＝，整理得t2－(1＋m)t＋2＝0；①

当△PCD∽△POF时，＝，

∴＝，整理得t＝(m＋1)．②

Ⅰ.当方程①有两个相等实数根时，

Δ＝(1＋m)2－8＝0，解得m＝2－1(负值舍去)，

此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，方程②有一个实数根t＝，

∴m＝2－1，

∴点P的坐标为(0，)或；

Ⅱ.当方程①有两个不相等的实数根时，

把②代入①，得(m＋1)2－(m＋1)2＋2＝0，

解得m＝2(负值舍去)，

此时方程①有两个不相等的实数根t1＝1，t2＝2，方程②有一个实数根t＝1，

∴m＝2，

∴点P的坐标为(0，1)或(0，2)．

综上，当m＝2－1时，点P的坐标为(0，)或；当m＝2时，点P的坐标为(0，1)或(0，2)．