中考数学 专项训 练考点13 动点在等腰三角形中的分类讨论(能力)

专题13 动点在等腰三角形中的分类讨论

1、如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；[来源:学*科*网]

（2）如图1，求证：HF＝EF．

（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

图1                            图2

思路点拨

1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．

2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．

满分解答

（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．

在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．

在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．

（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，

∠DAH＝30°．

在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．

因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．

所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．

图3                     图4                      图5

（3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．

由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．

因此FM＝，△ACM是等边三角形．

又因为AE＝，所以FM＝EA．

又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．

所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．

所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．

考点伸展

我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．[来源:Z#xx#k.Com]

如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．

图6                          图7

如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．

图8                   图9                   图10            图11

2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．

（1）求a、b、c的值；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

图1

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．

2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．

满分解答

（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．

将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）．

（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．

已知A(0, 2)，所以＞．

而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．

所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．

（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．

在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．

所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．

等腰△AMN存在三种情况：

①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．

图2                                    图3

②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．

此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．

③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．

图4                                    图5

考点伸展

如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：

设点P的坐标为．[来源:Zxxk.Com]

已知B(0, 1)，所以．

而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．

3、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1                            备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

满分解答

（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以．所以，．

图2                     图3                        图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时．所以．

②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

此时．所以．

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．

在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．

因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时．所以．

②如图6，当QC＝QD时，由，可得．

所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．

此时．所以．

③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5                                图6

考点伸展

如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．

4、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．

2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，

代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

图2

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

所以点P的坐标为(1, 2)．

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为(1,m)．

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．

此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．

此时点M的坐标为(1,)或(1,)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．

当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3                  图4                   图5

5、如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．

所以点B的坐标为．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B，．解得．

所以抛物线的解析式为．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．

综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．

图2                                  图3

考点伸展

如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．

由，得抛物线的顶点为．

因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．

6、如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

  图1

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．

满分解答

（1）解方程组  得 所以点A的坐标是(3，4)．

令，得．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2                     图3                     图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．[来源:学科网ZXXK]

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．

此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．

我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．[来源:学科网ZXXK]

在△APQ中， 为定值，，．

如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．

如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．

如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．

综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形． 

图5                   图6                    图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．