中考数学 专项训练 考点18 动点在几何图形面积中的分类讨论(基础)

专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论

1、如图，在正方形ABCD和△EFG中，AB＝EF＝EG＝5 cm，FG＝8 cm，点B，C，F，G在同一条直线l上．当点C，F重合时，△EFG以1 cm/s的速度沿直线l向左开始运动，t s后正方形ABCD与△EFG重合部分的面积为S  cm2.请解答下列问题：

(1)当t＝3 s时，求S的值；

(2)当t＝5 s时，求S的值；

(3)当5 s<t≤8 s时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

【思路生成】对于(1)，首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积；

对于(2)，确定重叠部分的面积是四边形，再根据△EFG的面积－△CHG的面积计算即可；

对于(3)，先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据面积关系，列出关于S，t的关系式，最后根据二次函数的性质讨论极值即可．

答图①

解：(1)如答图①，过点E作EM⊥l于点M，EF交CD于点H，

∵EF＝EG＝5 cm，FG＝8 cm，

∴FM＝MG＝4 cm，

在Rt△EFM中，EM＝3 cm.

当t＝3 s时，CF＝3 cm，

∵∠FCH＝∠FME，∠HFC＝∠EFM，∴△FCH∽△FME，∴＝，

∵CF＝3 cm，FM＝4 cm，EM＝3 cm，∴CH＝ cm.

则S＝CF·CH＝(cm2)；

答图②

(2)如答图②，当t＝5 s时，点F与点B重合，△CHG的面积＝cm2，S＝FG·EM－S△CHG＝12－＝(cm2)；

答图③

(3)当5 s<t≤8 s时，重叠部分是五边形，如答图③，

BF＝(t－5)cm，CG＝(8－t)cm，

∵∠FBH＝∠FME，∠HFB＝∠EFM，

∴△FBH∽△FME，∴＝，

∵BF＝(t－5)cm，FM＝4 cm，EM＝3 cm，则BH＝(t－5)．

∴S△BFH＝BF·BH＝(t－5)×(t－5)＝(t－5)2＝t2－t＋，

同理CP＝(8－t)，

∴S△CGP＝CG·CP＝(8－t)×(8－t)＝(8－t)2＝t2－6t＋24，

∴S＝S△EFG－S△BFH－S△CGP＝12－－

＝－＋.

∵－<0，∴函数图象有最高点，

当t＝时，S的最大值为.

2、如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

(1)当t＝2时，线段PQ的中点坐标为____；

(2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

(3)当t＝1时，抛物线y＝x2＋bx＋c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

解：(1)∵点A的坐标为(3，0)，∴OA＝3，[来源:学科网ZXXK]

当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，

∴P(2，0)，Q(3，4)，

∴线段PQ的中点坐标为，即；

(2)∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，

∴0<t<3，

∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°，

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，＝，

∴＝，即4t2－15t＋9＝0，

解得t1＝3(舍去)，t2＝；

②当△PAQ∽△CBQ时，＝，

∴＝，即t2－9t＋9＝0，

解得t1＝(舍去)，t2＝，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；

(3)存在．[来源:学科网ZXXK]

当t＝1时，P(1，0)，Q(3，2)，

把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2＝－，

∴顶点K，∴M(0，2)．

∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x轴，

如答图①，作抛物线对称轴交MQ于E，DQ交y轴于H，

答图①

∴KM＝KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，

∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE，

∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH，∴＝，

∴＝，∴MH＝2，∴H(0，4)，

易得HQ的表达式为y＝－x＋4，

则x2－3x＋2＝－x＋4，

解得x1＝3(舍)，x2＝－，∴D；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，使∠HQM＝∠MKQ，如答图②，

答图②

由对称性得H(0，0)，易得OQ的表达式y＝x，

则解得x1＝3(舍)，x2＝，

∴D；

综上所述，点D的坐标为或.

3、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．

图1

思路点拨

1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．

2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．

所以－8a＝－3．解得．

所以抛物线的解析式为．

（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．

在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．

在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．

所以S△PBQ＝．

因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。

（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。

如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。

当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。

因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。

如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。[来源:学§科§网]

因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．

过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．

由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．

解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．

图2                        图3                    图4

4、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图1

思路点拨

1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．

2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．

3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．

4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．

满分解答

（1）b＝，点B的横坐标为－2c．

（2）由，设E．

过点E作EH⊥x轴于H．

由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．

所以．因此．所以．

当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．

整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．

所以抛物线的解析式为．

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．

直线BC的解析式为．

设，那么，．

所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．

因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．

当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．

综上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

5、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

思路点拨

1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是

△A′B′O面积的3倍．

2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．

3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．

满分解答

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．

因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，

代入B′(0, 2)，得a＝1．

所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．

（2）S△A′B′O＝1．

如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．

如图2，作PD⊥OB，垂足为D．

设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．

．

．

所以．

解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．

所以点P的坐标为(1，2)．

图2                         图3                        图4

（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．

6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标(－3，0)，点C在y轴正半轴上，且＝.点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t(0≤t≤5)秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S.

(1)求点D坐标；

(2)求S关于t的函数关系式；

(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵点B坐标(－3，0)，∴OB＝3，

∵＝，∴OC＝4，BC＝5，C(0，4)，

∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝BA＝5，CD∥BA，∴D(5，4)；

(2)依题意知OP＝t，由(1)知OC＝4，OA＝BA－OB＝2.

①当0≤t≤2时，如答图①，S＝OP·OC＝4t；

②当2<t≤5时，如答图②，AP＝OP－OA＝t－2，

∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠SAP，∴△CBO∽△SAP，

∴＝，∴＝，∴SP＝t－，

∴S△APS＝AP·SP＝×(t－2)＝t2－t＋，

∴SOASRC＝S矩形OPRC－S△APS＝4t－＝－t2＋t－.[来源:学_科_网]

综上，S关于t的函数关系式为S＝

   [来源:Zxxk.Com]

答图①    　　答图②

(3)点Q的坐标为或(1，－3)或(4，1)．

①如答图③，当BQ＝CQ时，延长PQ交CD于点M，

∵∠BQC＝90°，∴∠BQP＋∠CQM＝90°，

∵∠CQM＋∠QCM＝90°，∴∠BQP＝∠QCM，

∴△BQP≌△QCM，∴CM＝QP，QM＝BP，

又∵CM＝OP，

∴OP＝QP＝t，∴QM＝PM－QP＝4－t，BP＝BO＋OP＝3＋t，

∴4－t＝3＋t，∴t＝，∴Q1.

②如答图④，当BQ＝BC时，

∵∠CBQ＝90°，∴∠CBO＋∠PBQ＝90°，

∵∠PBQ＋∠BQP＝90°，∴∠CBO＝∠BQP，

∴△CBO≌△BQP，∴BP＝CO＝4，PQ＝OB＝3，

∴OP＝BP－OB＝1，∴Q2(1，－3)．

③如答图⑤，当CB＝CQ时，

∵∠BCQ＝90°，∴∠BCO＋∠OCQ＝90°，

∵∠OCQ＋∠QCM＝90°，∴∠BCO＝∠QCM，

∴△BCO≌△QCM，∴CM＝CO＝4，MQ＝OB＝3，

∴PQ＝MP－MQ＝1，∴Q3(4，1)．

综上，点Q的坐标为或(1，－3)或(4，1)．

答图③　　             答图④　　             答图⑤