中考数学 专项训练 考点15 动点在梯形中的分类讨论(基础)

专题15 动点在梯形中的分类讨论

【精典例题】

1、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．

（1）求边的长；

（2）当为何值时，与相互平分；

（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？

【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．

又······································2分

在中，由勾股定理得：

（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．

即解得即秒时，与相互平分．

（3）①当在上，即时，作于，则

即=[来源:Z#xx#k.Com]

当秒时，有最大值为

②当在上，即时，=

易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为

综上，当时，有最大值为

2、在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．

（1）求的长． （2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

【解析】：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形

∴在中，

在，中，由勾股定理得，

∴

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形

∵∴∴∴

由题意知，当、运动到秒时，

∵∴又

∴∴即解得，

（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴

②当时，如图④，过作于

解法一：由等腰三角形三线合一性质得

在中，

又在中，

∴解得

∵

∴∴即∴

③当时，如图⑤，过作于点.

解法一：（方法同②中解法一）

解得

解法二：

∵

∴

∴即∴

综上所述，当、或时，为等腰三角形

3、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5, 6)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．  

满分解答

（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3, 0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．

将点C(5, 6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．[来源:Zxxk.Com]

解得．所以抛物线的解析式为．

（2）由，得顶点D的坐标为(1,－2)．[来源:学科网ZXXK]

由A(－1,0)、C(5, 6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．

因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．

图2                                   图3

如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．

如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．

所以AE＝．所以点E的坐标为，或．

（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．

①如图4，当DF//AC时，由，得．

解得DF＝．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．

②如图5，当CF//AD时，由，得．

解得CF＝．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F．

图4                             图5                                                            

4、如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．

2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．

3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．

4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．

满分解答

（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，

得  解得，，．  所以．

（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．

直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．

解方程，得，．

x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．

图2                                 图3

（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．

设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．

在Rt△OFG中，．所以．

在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．

所以．

在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．

因此．所以．

所以．

于是．

因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．

5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．[来源:学科网ZXXK]

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

图1                        图2

思路点拨

1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．

2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

满分解答

（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得 

所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．

（2）由，知点B的坐标为（6，0）．

假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．

由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．

如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．

所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．

图3                      图4                      图5

（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．

在Rt△PMH中，，．所以．

在Rt△PNH中，，．所以．

① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．

②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．

此时．