中考数学 专项训 练考点14 动点在四边形中的分类讨论(基础)

专题14 动点在四边形中的分类讨论

【专题说明】

动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想，对学生综合运用知识的能力要求非常高。

四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。

一、解题基本思路

解决动点问题的思路，要注意以下几点：[来源:学.科.网Z.X.X.K]

1、设出未知数

动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t

2、动点的运动路径就是线段长度

题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。

3、 方程思想求出时间

动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。

4、难点是找等量关系

这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。

5、注意分类讨论

因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。

【精典例题】

1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

【解析】（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时，

（舍去）．

因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意．

②当点Q与点M重合时，

．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合．

所以所求x的值为．     

（2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，由，解得．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，由，  解得．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．

若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，  则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，

即．解得．

由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形

2、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．

2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，[来源:学&科&网]

代入点C(3, 0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）因为PE//BC，所以．因此．

所以点E的横坐标为．

将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．

所以点G的纵坐标为．于是得到．

因此．

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）或．

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

，，，．

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．

整理，得．解得，（舍去）．

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．

整理，得．．所以，（舍去）．

图2                           图3

3、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1             　             图2[来源:学科网ZXXK]

思路点拨

1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．

2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．

满分解答

（1）QB＝8－2t，PD＝．

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．

过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．                                                                 

在Rt△APE中，，所以．　

当PQ//AB时，，即．解得．

所以点Q的运动速度为．

（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．

如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．

直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．

图4                   图5                      图6

考点伸展

第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：

当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．

设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，

得  解得a＝0，b＝－2，c＝6．

所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

4、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为  ，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图1                              备用图

思路点拨

1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．

2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

满分解答

（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．

由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．

由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．

（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．

设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．

由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝

＝＝＝，

得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．

（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．

由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．

当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．

由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．

由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．

整理，得7a2＝1．所以．此时P．

②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．

由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．

由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)．

由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．

整理，得4a2＝1．所以．此时P．

图1                     图2                        图3

考点伸展

第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．

①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以，即．

解得．所以P．所以Q．

将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．

②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．

由∠AQD＝90°，得，即．解得．

5、如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

思路点拨

1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．

3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．

4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．

满分解答

（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

  解得b＝－2，c＝3．

所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．

（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．

（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．

那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：

抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；

抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；

抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）；

抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′（如图3）．

图2                                图3

考点伸展

本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？

如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为．

将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．

所以S＝．

图4