人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程优秀当堂达标检测题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程优秀当堂达标检测题，共6页。试卷主要包含了设点P,，已知F是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1.（2020·山东菏泽三中高二期末）与椭圆x24+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )





A.x24-y2=1B.x23-y2=1 C.x22-y2=1 D.x2-y22=1


【答案】C


【解析】由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=3,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为x22-y2=1.


2.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是( )


A.x2-y24=1B.x2-y29=1 C.x2-y215=1D.x2-y224=1


【答案】A


【解析】若双曲线的方程为x2-y24=1,则a=1,c=5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-25x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.


3.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( )


A.双曲线的一支B.圆 C.椭圆D.双曲线


【答案】A


【解析】设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).


4.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2=0,则|PF1+PF2|=( )


A.25B.5C.210D.10


【答案】C


【解析】由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10,0),F2(10,0).设点P(x,y),


则PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y).∵PF1·PF2=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.


∴|PF1+PF2|=|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=2(x2+y2)+20=210.


5．（多选题）（2020·江苏省镇江中学高二期末）在平面直角坐标系中，动点P到两个定点和的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则（ ）


A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称


C．曲线E关于y轴对称D．若点在曲线E上，则


【答案】BC


【解析】设，则，则，（）.


故轨迹为焦点在轴上的双曲线去除顶点.故曲线不经过原点，错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，正确；若点在曲线E上，则或，错误；故选：.


6. （多选题）（2020·广东宝安高二开学考试）已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（ ）


A．点到轴的距离为B．


C．为钝角三角形D．


【答案】BC


【解析】因为双曲线，所以.又因为，所以，所以选项A错误；将代入得，即.由对称性，不妨取的坐标为，可知.由双曲线定义可知，


所以，所以选项B正确；由对称性，对于上面点，


在中，.且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确；由余弦定理得，，所以选项D错误.故选：BC.


二、填空题


7.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF





的面积为 .


【答案】32


【解析】因为F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-yP23=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=32.


8. （2020·湖北襄阳高二月考）数学家华罗庚曾说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程|x2+8x+20-x2-8x+20|=4的解为 .


【答案】±433


【解析】|x2+8x+20-x2-8x+20|=4,即|(x+4)2+22-(x-4)2+22|=4.其几何意义是动点(x,2)到定点(-4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4,∴该曲线为双曲线,∴2a=4,a=2,c=4,b2=12,


∴双曲线的标准方程为x24-y212=1.∵点(x,2)在该双曲线上,∴x24-412=1,解得x=±433.


9.（2020·全国高二课时练习）已知圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.


【答案】


【解析】由圆的方程知：与y轴的交点坐标为，∵圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上∴双曲线的焦点在y轴上，且，又∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分∴，即有，∴此双曲线的标准方程


10.平面上两点F1,F2满足|F1F2|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF1|-|PF2||=d的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆.下列结论中,其中正确的有 (写出所有正确结论的编号).


①当d=0时,D为直线; ②当d=1时,D为双曲线;


③当d=2时,D与圆C交于两点; ④当d=4时,D与圆C交于四点;





⑤当d>4时,D不存在.


【答案】①②⑤


【解析】①当d=0时,D为线段F1F2的垂直平分线,∴①正确;


②当d=1时,∵||PF1|-|PF2||=d<|F1F2|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,∴②正确;


③当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,∵C为平面上以F1为圆心、6为半径的圆,∴D与圆C有4个交点,∴③错误;④当d=4时,D是两条射线,∴D与圆C有2个交点,∴④错误;


⑤当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,∴D不存在,∴⑤正确.


三、解答题


11.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.


【解析】因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=34,


所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.


由3k+4k+5k=48,得k=4.


所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.





以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.


设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).


由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.


由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,


所以b2=c2-a2=100-4=96,


故所求方程为x24-y296=1.


12.（2020山东泰安一中高二月考）已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.


(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求M点到x轴的距离;


(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.





【解析】（1）如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,MF1·MF2=0,


则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,


由双曲线定义,知m-n=2a=8,①


又m2+n2=(2c)2=80,②


由①②得m·n=8,


∴12mn=4=12|F1F2|·h,


∴h=255.


(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16),


由于双曲线C过点(32,2),


∴1816-λ-44+λ=1,


解得λ=4或λ=-14(舍去),


∴所求双曲线C的方程为x212-y28=1.