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    数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程精品同步练习题

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    这是一份数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程精品同步练习题,共4页。试卷主要包含了 已知抛物线C等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题


    1.(2020·江西九江市三中期中)抛物线的焦点坐标是( )


    A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,)


    【答案】D


    【解析】抛物线的标准方程为,故,即,故焦点坐标是,


    即.故选:D.


    2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )


    A.(-1,0)B.(1,0) C.(0,-1)D.(0,1)


    【答案】B


    【解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p2=-1,即p=2,故焦点坐标为(1,0).


    3. (2020·辽宁凌源·高二期末)平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到直线l:x=-3的距离,则动点M满足的方程是( )


    A.y2=6xB.y2=12x C.x2=6yD.x2=12y


    【答案】B


    【解析】由条件可知,点M到点F(3,0)的距离与到直线x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点,x=-3为准线的抛物线,其方程为y2=12x.


    4. (2020·宁夏石嘴山高二月考)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于( )


    A.4B.2C.1D.8


    【答案】C


    【解析】如图,F14,0,过A作AA'⊥准线l,∴|AF|=|AA'|,∴54x0=x0+p2=x0+14,∴x0=1.





    5.(多选题)(2020·全国高二课时练)对抛物线x2=4y,下列描述不正确的是( )


    A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为0,116


    C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为116,0


    【答案】BCD


    【解析】∵抛物线的标准方程为x2=4y,∴2p=4,p=2,解得p2=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.


    6.(多选题)(2020·全国高二课时练)方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5表示的曲线不可能为( )


    A.抛物线B.椭圆 C.双曲线D.圆


    【答案】BCD


    【解析】设P(x,y),由方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5得,点P到点F(2,2)的距离等于点P到直线3x-4y-6=0的距离,又点F不在直线3x-4y-6=0上,由抛物线的定义得,曲线为抛物线.


    二、填空题


    7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .


    【答案】9


    【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.


    8.(2020·南京师范大学附中高二月考)若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点,则 .


    【答案】6


    【解析】抛物线的焦点坐标为,,双曲线中,,,


    ,双曲线的右焦点为,则,得.


    9.(2020·唐山市第十一中学高二期末)已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则点M到抛物线C焦点的距离是______.


    【答案】2


    【解析】由点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,可得4=2p,p=2, 抛物线C:y2=4x,


    焦点坐标F(1,0), 则点M到抛物线C焦点的距离是:1+1=2,


    10.一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为 米.


    【答案】42


    【解析】以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).





    由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),


    所以4=-2p×(-2),解得p=1.所以抛物线的方程为x2=-2y.


    当水面下降2米,即当y=-4时,可得x2=-2×(-4)=8,解得x=±22,


    因此水面宽为42米.


    三、解答题


    11.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.


    (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;


    (2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.


    【解析】 (1)双曲线方程可化为x29-y216=1,左顶点为(-3,0),


    由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且-p2=-3,∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.


    (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2nx(n≠0),A(m,-3),


    由抛物线定义得5=|AF|=m+n2.


    又(-3)2=2nm,∴n=±1或n=±9,


    故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.


    12.(2020·全国高二课时练)已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),求|PA|+|PQ|的最小值.


    【解析】抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,


    如图,设点P在准线上的射影是点M,





    根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.


    所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=82+(7-1)2-1=10-1=9,


    当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.


    故|PA|+|PQ|的最小值为9.





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