人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程同步练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程同步练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2xB．y2＝－2x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是 ( )
A．y2＝－16x
B．y2＝－32x
C．y2＝16x
D．y2＝16x或y＝0(x＜0)
3．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是( )
A．a＋B．a－
C．a＋p D．a－p
4．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25cmB．5.625cm
C．20cmD．10cm
二、填空题
5．已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
6．抛物线x＝ay2(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________．
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．
三、解答题
8．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若＝，点A到y轴的距离为1，求抛物线C的方程．
9.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点()，求抛物线和双曲线的方程．
[尖子生题库]
10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
课时作业(二十三) 抛物线的标准方程
1．解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由eq \f(p,2)＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．解析：∵点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，∴点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.
答案：C
3.
解析：设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，
过M作MN⊥l于N(l是抛物线的准线x＝－eq \f(p,2))，连MF.根据抛物线定义，|MN|＝|MF|＝a，∴x0＋eq \f(p,2)＝a，
∴x0＝a－eq \f(p,2)，∴选B.
答案：B
4．解析：
如图建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)，因为A(40，30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝eq \f(45,4)，∴光源到反光镜顶点的距离为eq \f(p,2)＝eq \f(\f(45,4),2)＝eq \f(45,8)＝5.625cm.
答案：B
5．解析：由抛物线方程，可知其准线方程为y＝－1，所以点P的纵坐标为4，代入抛物线方程可知横坐标为±4.
答案：±4
6．解析：抛物线x＝ay2(a≠0)可化为y2＝eq \f(1,a)x(a≠0).①当a>0时，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，抛物线开口向右，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).②当a<0时，eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)，抛物线开口向左，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4a).故不论a>0，还是a<0，焦点坐标都是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0))，准线方程都为x＝－eq \f(1,4a).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4a)，0)) x＝－eq \f(1,4a)
7．解析：由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故eq \f(p,2)＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
答案：±4
8．解析：由题可知点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xp，－\f(p,2)))，
因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2p)))，
因为eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))，
所以eq \f(1,2p)－eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)－\f(1,2p)))，
解得p＝eq \r(3)或－eq \r(3)(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2eq \r(3)y.
9．解析：因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0).将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1.
10．解析：
(1)如图，
易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，即点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为eq \r(5).
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2eq \r(3).
因为2eq \r(3)＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.
此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.